Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

З д е с ь, как и прежде,

к =

F =

,

Х =

— .

(5.64)

ß#2

Г

Я 4 Д 2 Ѳ

£

Ѵ

Д л я

достаточно

длинных

оболочек эта

формула

переходит

в со­

ответствующую

формулу

предыдущего

раздела,

и дл я

бесконеч­

но длинной оболочки критическое значение внешнего

равномер­

ного всестороннего давления совпадает с критическим

значени­

ем внешнего равномерного поперечного давления

Я

;

•

(5.65

5.

УСТОЙЧИВОСТЬ

ПРИ

КРУЧЕНИИ

Пусть

по

торцам

цилиндрической оболочки

приложены

кру­

т я щ и е моменты Мир. В докритическом

безмоментном

состоянии

удельные усилия в оболочке

равны

№n = N°,

=

0;

№1,=

- ^ - .

(5.66)

П р и н и м а я

функцию % в виде

.

тлх

п (s — rix)

I

,

п (s— rix)'

(5.67)

у = Sin

I

a sin —-

•—-—k b cos —-

—•

(a,

b,

R

1

R

п подставляя

i-j — параметры, n — число окружных

волн)

е е ,в уравнение

устойчивости

(5.41), приходим к следующим двум

уравнениям:

о

( 1 _

і * і

я

. )

D 3

+ ^ / _ J Î I +

™ L \ V I

+

_ W „ , ) +

V

ߣ2

/

Я8

' Я2

V

Ä -

/ / V

РЯ2

/

+

2ЛГ1 2

(

-

^ j

- f

f )

( l + p

- g - f t ' ) = 0 .

(5.6

И з

этого

уравнения

следует,

что

минимум

Л^іг достигается

при

т = 1 .

Вводя

обозначения

k

=

W

X

e T ' ' = T *

( 5 - 6 9 )

приведем

уравнения

(5.68)

к

виду

Ш

X2

Х2

„

Z J V 12

^20

£2

я;2

3X2

(5.70)

£ А

12

к

Х2

'

Х2

S2

л 2

л 2

Суммируя и вычитая эти уравнения друг из друга,

найдем

лгО

1 +

1 — E 2

Ь

С2-П (7)2+ 3Ç2)

£ Л

24

А

Х

2

1

2

Х2

£2

я2 ?

U

'

я2

«А

1 —

Х2

Х2

3*2)

1 -!-

£2

• £2 (£2 +

£ ! ° ^ J L

l ü »

ü L "

= 0 .

(5.72)

12

Л

X2

о

Х2

ѵ

С помощью

равенства

(5.72)

в ы р а ж е н и е

(5.71)

приводится

к

виду

^

=

2

й

^

т .

(5.73)

'

Я2

/

Х2>

Ѵ

[ 1 - £ 2

—

я

,

Кроме того,

(5. 72)

позволяет

определить

г| при заданном значе­

нии І, т. е. я, и подстановкой

в

(5.73)

найти

минимум

Nn0

U

/

„

Х2 \

2

,

<

_ _

L

^

_

^ _

^

_

^

, =

0 .

(5.74)

1

+ і

2

-

\

^

Пусть

г о

2 £ А 2

4

/ У?А

Я 2 ^

|

/

/2

Поэтому

1 - е 2 —

л 2

Д л я

однородной

оболочки

формула

(5. 76) остается

прежней,

тогда как уравнение

(5.74)

приобретает вид

Г л а в а 6

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ

НЕПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК ПРИ МАЛЫХ И КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

В этой главе получены нелинейные уравнения равновесия и

устойчивости непологих

трехслойных

оболочек,

состоящих из

различных изотропных

несущих слоев

и жесткого

трансверсаль-

будут использованы для оценки границ

применимости

уравнений

локальной потери

устойчивости

и полубезмомеитиой

теории. Так

ж е ,

как и в гл. 5, здесь для

заполнителя приняты

кинематичес­

кие

гипотезы прямых

линии,

для

несущих

слоев — гипотезы

Кирхгоффа — Л я в а .

Как

и

ранее,

используем

общий

для

всех

трех

слоев

коэффициент

Пуассона, определяемый

по

формуле

Е\Іі\

, ,

Е21і-2

,

E3h3

ѴЗ

-V,

Ѵо +

1 — ѵг 2

1 _ ѵ 2 2

2

^ 1 _ ѵ 8 2

Е\Іі\

Еф-2

E3h3

1 _

ѵ,2

1 _

ѵ2 2

1 _

ѵ3 2

где

Eh,

ѴА (k=\,

2,

3) — м о д у л ь

Юнга

и коэффициент

Пуассона

первого,

второго несущего

слоя

и

заполнителя

соответственно;

hk

( Ä = 1 , 2,

3) — т о л щ и н а

первого,

второго

несущего слоя

и за­

полнителя соответственно. Помимо введенных

ранее

обозначе­

ний

положим /1], Л о и

/ ѵ ' и ,

/г2 2—параметры

Л а м е и главные кри

визны

поверхности,

эквипотенциальной

к срединной

поверхности

заполнителя .

1.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

И

ДЕФОРМАЦИИ

Так как и гипотезы прямых

линий

и гипотезы Кирхгоффа —

Л я в а предполагают

несжимаемость

материала

слоев в

попереч­

ном направлении, то функция прогиба

точек оболочки

не

зави­

сит от нормальной

координаты z:

w = w(xu

Хо) .

(6-1)

цг

=ui-\-zùl

( — c < z < Ç c ) ,

(6.2)

lit — тангенциальные перемещения т о ч е к ,

исходной

поверх­

ности.

Тангенциальные

перемещения граничных

поверхностей за­

полнителя

ui1 = ui-\-cfi

(z=c);

— щ —

(z= — c).

(6.3)

Теперь, используя гипотезы

Кирхгоффа — Л я в а ,

дл я

танген­

циальных перемещений точек несущих слоев найдем

выражения :

д л я

первого

несущего

слоя

( c ^ z ^ c + /îj)

u';=u, + cy,+{z-c)

[(tii +

cbA k'u-H'-lwtl]

;

(6.4)

дл я второго

несущего

слоя

(—h2 —c<z<—с)

tl* =

Ui—

С<Ь;-{-

(Z-\-C)

[(И, — Clb,-) kit

—

Я;"~Ѵі,;] .

(6.5)

В этих

формулах

;

hu

— ей,-,-

1 +

•

H " -

• oka

\ +

Clt:

Ck;

' n

l

-

причем

ku

и Ai — соответственно

главные

кривизны

и пара­

метры Л а м е срединной поверхности

заполнителя .

Линейна я д е ф о р м а ц и я поперечного сдвига

е,-з через

переме­

щения вычисляется по формулам

e Î 8 = « M - ( l + A H z ) - ^ X + ^ r 1 Œ ' . /

2)

(6.6;

Д л я заполнителя найдем

согласно

(1.2)

из '

i>i — kUU;

+

Ä7lWd

а,-

(6. 7)

1 +

k n z

1 +

kUZ

Вводя

івмессо ар новые

перемещения

«/ =

Фі-

•<М/ +

Л,- V / .

(6.8)

форме:

при

( с ^ г ^ с + Лі)

II,-

\ t

Zk"

cal-\-z(kiiui

— Ai У , ) ;

j

при

(-

4 =

M; + Z

+

—

^,, - ):

(6.9)

при

( — h 2 — c ^ z ^ — c )

u=U;—

1

1 •

скцca^zikiiUi

— Ai V , ) .

+

z k i i

Так

ка к

zck'u <c% 1.

эти

формулы можно

получить в івиде:

5

3197

109