Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
2.НАПРЯЖЕНИЯ, УДЕЛЬНЫЕ УСИЛИЯ
ИУДЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
Согласно закону Гука д л я плоского напряженного состояния идеально упругого тела
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
1 - ѵ 2 [(1 |
_ Ѵ ) |
sfy + |
v f y e f j , |
|
(6.31) |
||||||
|
(&Zkk=Bu + 4v |
|
|
П |
Р И |
і = |
к |
|
|
при |
|
іфі). |
|
|||
Н а п р я ж е н и я |
в слоях |
вычисляются |
по |
следующим |
ф о р м у л а м : |
|||||||||||
первый |
несущий |
слой |
( с ^ г ^ с + / м ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
а Ь = |
! _ f v 2 |
К 1 - |
ѵ) [е*; - |
га |
-у - |
(z - |
с) сС,у + г%,j\ |
+ |
|
||||||
|
|
+ ѵ 8 у |
[e» |
+ |
« 4 |
+ |
( * - c |
K * + |
* * « ] ) : |
|
(6.32) |
|||||
второй несущий |
слой |
( — с — / і г ^ з ^ — с ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
у - ^ - К і - ѵ ) [ в ? ; — |
СО/*/ —(z-fcJcCy + |
zx,;] + |
|
|||||||||||
|
|
+ v8,j [eU - |
со** - |
(z -f- с) с С А Й + z * J } ; |
|
(6. |
33) |
|||||||||
заполнитель |
(—c<z<c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
l _ v 3 |
2 {(1 — V ) |
|
|
( a ? ; + |
y - « 7 )]+v8 / 7 |
[ e » + z (c4+ - / . É f t )] ); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6. |
34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6. |
35) |
Введем удельные усилия и удельные |
моменты |
|
|
|
||||||||||||
N]j= |
JoJ^z ; |
N)j= |
|
j |
ttj/z; |
|
W ? y |
= |
j " a ^ z ; |
|
|
|
||||
|
С |
_ |
|
|
|
—С—ha |
|
|
|
|
—с |
|
|
|
||
|
c+hi |
|
|
|
|
|
|
—с |
|
|
|
|
|
|
|
|
M]j= |
j |
a)j(z-c)dz] |
|
|
M],= |
|
j |
oJy (z + |
c)ûf«; |
} |
(6.36) |
-с—Лі
|
Вычисляя, |
найдем |
|
|
|
|
|
|
JV,1 |
Я |
Л |
|
|
|
|
|
1 — |
V2 |
|
|
Л ( ' і + |
<в). |
|
|
2 |
• |
l'3 |
^ < 4 |
+ |
||
T |
|
|
*ftft |
(6.37)
1 1 5
N |
и~- |
|
Eh |
У2 |
( 1 - V ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A (<2+'s) |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
— v 2 - |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
|
8,y v |
|
|
|
|
|
|
|
'Aft |
A |
to+ |
<з) |
(6. 38) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'У |
|
|
|
|
'•Äft |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
TV3 , |
£ |
/ г |
Ys [(1 — ѵ) eîy + |
8 //vé?«]; |
|
(6. 39) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 — V2 |
|
|
|
|
|
|
|
A2J!^ |
|
|||
|
м і |
; |
_ |
|
£А2- v 2 |
|
u |
{i ( 1 - V ) |
* |
+, |
ht3 |
au* |
, |
|
|||||
|
' |
|
|
|
2 ( |
l |
Y )A |
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
i A<3 |
* |
|
A2<1 <3 r |
|
|
ft* |
||
+ { T + T ) |
|
|
' • ' » } + * » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
£Л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.40} |
|
|
|
|
|
|
УA |
|
( i - v ) |
|
^ > 9 |
'7 |
|
|
|
||||||
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 ( l - v 2 ) ' - - l |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
V 3 |
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л2/2г?3 |
Cftft + |
( 2^2 |
|
|
/zx*ft 1 |
|
|
(6.41) |
||||
|
|
|
|
|
£Л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 (1 — v2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q i 3 = GhtzQ.i. |
|
|
|
|
|
(6.42) |
|||
Уравнения равновесия и граничные условия удобно записы |
|||||||||||||||||||
вать, используя |
следующие |
удельные |
усилия |
и |
моменты: |
||||||||||||||
|
|
|
/ ѵ і 7 = / ѵ Ь - + / ѵ ? ; - + / ѵ 3 , ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.43) |
|
|
|
Hl}=Mu+cN},-cNu; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
MT)= |
M)}- |
|
|
Mu. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Через |
компоненты |
деформации |
|
они |
в ы р а ж а ю т с я |
так: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
N,, |
= - Eh |
|
[(1 — ѵ ) |
|
|
еі}-\-\Ъ1}епк[-\- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Е№ |
|
|
|
|
( с а а , j + c u x , y - f с с 1 4 С и ) |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
2(1 — v2)•К 1 - v ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
8,/v(cu aÄ f t + |
|
+ |
cc1 4 Cf t f t )]; |
|
|
(6.44) |
Eh?
ч2 (1 — v2)
1 1 6
+Eh?
12 (1 — v2)
• [( 1 - v) (c 2 2 a : ; . + cc2 4 C,7 + c23v.,7 ) +
(6.45)
|
12 |
|
• [( 1 — v) ( с ю а ; у |
+ cc84C,y + |
c33v.,,) |
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
(1 — v2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
v5, 7 (c 3 2 a^ + |
cc3 4 Cf t ft |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.46) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C334Aft)] \ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Eh? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 - V 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 (l _ |
(1 - v) (c 4 2 a? y + c c 4 / „ 7 + c 4 3 y . , ; . ) - |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
v2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.47) |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C i 2 = 4 ( Yi - |
Y2 ) = c3 1 ; |
|
c 1 8 = Y i A 4" 's) - |
Y2 |
А + |
|
4») = |
с зі; |
|
|||||||||||
См = |
YA + |
Ya*s = c 4u |
|
Cas = /32(37!+ 3 y2 |
+ |
Y3 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
^ 2 3 = c 3 2 = 33 |
2 YA |
A + - |
|
fx2 |
3 Ya's ( ' 22 |
+ * 8 ) + Y8 s ^ 2 ; |
22 |
) |
+ |
|
|
2 |
|
| (6. 48) |
||||||
^33 = |
Yi (3i |
+ 6^3 + 4/ |
) + |
Ya (% |
|
+ 6 V |
+ |
4/ |
|
Y3'3 |
|
; |
||||||||
|
|
c24 = C42 = |
3*в (YA — Ya'a); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
c 34 = 4 ( YA 2 |
- |
Ya'a2) + |
& 3 (YA |
~ |
Ya<a)î |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
C44 = 4 Y A 2 |
+ |
4Ya*a2: |
c44 = с зз — 2 |
с 2 з |
+ |
c 2 |
2 ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
£-= |
|
l |
^ ! |
y |
^ |
|
^ _ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.49) |
|
|
|
|
|
|
|
* - l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ A ( l - v 2 ) |
|
, |
A*. " ( Ä = 1 > 2 , 3). |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k |
Eh (I — v f t 2) |
|
|
|
Л |
|
|
v |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
3. ВАРИАЦИЯ ПОЛНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Уравнения равновесия получим, вычисляя вариацию полной энергии оболочки с учетом энергии поперечного сдвига запол нителя. Вариаци я энергии внутренних сил оболочки равна по тенциальной энергии деформации оболочки, взятой с обратным
1 1 7
знаком, вследствие этого принцип возможных перемещении за пишется в форме
|
|
|
|
6П—ö A — 6 В = 0, |
|
|
(6.50) |
|||||
где 6 П — вариация |
потенциальной |
энергии деформации; |
|
|||||||||
àA— вариация |
работы |
внешней |
поверхностной |
нагрузки; |
||||||||
6В — вариация |
работы |
внешних |
контурных сил. |
|
||||||||
Вариация |
потенциальной |
энергии |
деформации |
в ы р а ж а е т с я |
||||||||
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Е2 |
'Чг tc + h, |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
Éi |
î i |
У с !,} |
|
|
—с |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.51) |
|
|
-c—fta |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое на |
основании |
(6. 26) —(6.28) и (6.36), |
(6.43) |
приво |
||||||||
дится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ь |
I s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s n = f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Èi |
І і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-т-2№/П |
Л ^ з ^ х ^ л г з , |
|
|
(6.52) |
|||||
где I i , I2 п т]і, ii2 — координаты |
краев оболочки |
в |
направлении |
|||||||||
осей координат л'і и х2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ъе*и |
= Ьеп |
+ |
|
|
- f <?128é?12; |
|
|
|
||
|
|
8<?*2 |
= 8e81-J- &2 8&2 -f é?218<?21; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6. 53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
llu t -21' |
|
|
после подстановки |
(6.53) |
и |
(6. 52) и интегрирования по |
частям |
||||||||
представим |
6П в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Еі "42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8П: : ' П — L^,ux — L2bu2 |
— L3lw |
— |
L^^—L^a^]dxxdx2-\- |
|||||||||
Ei Пі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ça |
|
|
|
'1 = |
|
|
|
(6.54) |
|
|
|
|
- f j |
/1dx1-\- |
j |
/a ûfx2 , |
|
|
|||
|
|
|
|
Ei |
|
|
|
I i |
|
|
|
|
118
где
£ i = ( A ^ i i ) , i - AatlNn |
+ |
Л Г 1 ( Л 2 Л Г М ) , Я |
+ |
А Ц ( Л 2 / И п ) а |
- |
- А ц Л а ^ Л Г м + г А Г 1 ( W y V |
/ i 3 ) , 2 + (А,2<?і2 - МіИИа ) |
+ |
|||
+ ( A % ^ 3 3 ) , 2 + (Л 3 е 2 1 У Ѵ 1 3 ) , г + ( Л А і т Ѵ 1 2 ) , 2 -(- |
|
||||
+ I A A |
— ^Иг.і — Л ^ а * ц & 2 |
) |
7 Ѵ 1 2 ; |
(6. 55) |
|
4 = - Л , Д ц + ( Л Л ) , 2 + Л Г 1 ( Л 2 2 У Ѵ 1 3 |
) а |
+ А 2 2 ( Л 3 М 2 3 ) , 2 - |
|||
- £ 2 3 Л 1 , 2 Ж 1 1 + 2 Л , 7 1 ( £ 3 3 Л 2 2 / И 1 2 ) , 1 + ( Л 2 е 1 2 7 Ѵ 1 1 ) , 1 - | - |
|
+Маа^А ) ^V a a+(^ia^i).a + (^a^iaßaa),i +
|
|
|
+ ( е и А 2 л — М И з * а з - ^ И і , 2 ) ^ 1 2 ; |
|
|
(6. 56 ) |
|||||||||
|
і 3 =(лг 1 (л 2 /и и ), 1 ) і 1 - (л 2 - І л 1 , 2 . /и и ), 2 +(лг 2 (л 3 ѵ и 1 3 ), 1 ), 2 + |
|
|||||||||||||
|
+ ( Л Г ' ( Л ^ / И ^ ) , , ) , ! ^ |
(ЛоГ 1 ( Л Г |
М 2 2 ) 1 3 |
) , 3 _ |
( Л Г Ч А а ) . ! - |
||||||||||
- Л И 2 {kuNn+k22N22) |
- ( Л Д Л ^ Ь - ( Л А 7 Ѵ 2 3 ) , 3 - ( Л Д У Ѵ 1 2 ) , 2 - |
||||||||||||||
|
- {A2§2N12)iX |
- ( Л И а ^ А г + ^ И а ^ ц ) W M ; |
|
(6. 57 ) |
|||||||||||
|
U = (Аг Нгі)л - Л 2 і І / / 3 3 + Л Г 1 |
W / / B ) | S |
+ kuc |
|
|
|
|||||||||
|
і 6 = ( Л Л ) . а - Л . а ^ і і + ^ Г І ( ^ і а \ і + А і а С ( Ѵ М . а - |
||||||||||||||
|
- £ 2 2 с Л ь 2 |
М Ц + |
2 С Л Г 1 |
( £ 2 2 Л 2 2 |
/ И 1 2 ) а - |
Л Х |
Л А 3 |
; |
(6. 59) |
||||||
|
К = |
( (^22 + *ва/И22)5«2 + ( W u |
+ 2knM12) |
oih |
+ |
|
|
||||||||
|
+ ( Я 2 3 -f k22cM^) |
8а2 -f (Н12 |
-j- 2£11c/WI~2") 8ах — / Ѵ / ^ Л Г ^ Т О . З |
+ |
|||||||||||
|
+ ( V U ) - |
1 |
[( Л ^ / a a ) , , - |
Л 1 і 3 |
/ И и -f 2 ( Л а / И ^ А |
Д^аОв]8 ^ + |
|||||||||
+ |
ваі-^аа8 «і + |
віі^'іа8 Кі+еіа^'іа8Иа— ѴѴаа8*» - |
^ Y V ^ S Ï O } Л х ; (6. 60) |
||||||||||||
|
'а = |
( № |
+ £Х 1 Мц) 8 % |
+ |
( Л А 1 2 |
+ 2 £ а з / W 1 3 ) |
8и2 |
+ |
|
|
|||||
|
+ ( Я и + |
А ц С Ж П ) 8а1 |
+ ( Я 1 |
а + |
2 £ 3 3 сЖІі ) В а 2 — Л f 1 1 Л Г 1 8 и > , 1 - f |
||||||||||
|
+ ( Л 1 Л 2 ) - 1 |
[ И 2 / И 1 1 ) , 1 |
- Л 2 , 1 М 2 2 |
+ 2 ( Л 1 |
/ И 1 2 ) , а |
+ |
^HaQa] |
+ |
|||||||
|
+ e21N11bu2+e22N22bu2-\-euN11bu1 |
|
|
— ^N^w— |
b2N12bw) |
Аг. |
|||||||||
|
Вычислим |
|
теперь работу, |
произведенную |
внешней |
поверх |
|||||||||
ностной нагрузкой, при .варьировании перемещений |
|
точек обо |
|||||||||||||
лочки. Пусть |
|
q — интенсивность |
гидростатического |
давления, |
|||||||||||
направленного |
в сторону внешней нормали элемента |
оболочки |
|||||||||||||
со |
сторонами |
|
A\dx{ |
и A2dx2. |
Работа, |
произведенная |
|
нагрузкой, |
119