Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

M

Ek2ca

Ідщ I

ѵд02

, ѵѵ\_,

Elu

ѵ

1 1

2(1 — ѵі)\дх 1

ds 1

R ) '

1 2 ( 1 — ѵ 2 )

X

' С7СІ1 I

dü9

d2:w

V Ö«2

V C C 3 4

ö a 2

дх

'

ds

- з з

ds 2

~~R Ts

R

ds

0 X 2

Eh2

ö « !

I ÖU'2 - да

\ I

£ A 3

X

^ 2 2

=

2 ( 1 _ V 2 )

1 3 ^ V dx*

~äs ' ~ £ "

J ^ ~

1 2 ( 1 — v 2 )

Л j

dx

£ Л 2

/

d,'^ !

àu-2 I

ДА

\

I

я2 2 = 2(1 — ѵ 2 ) C l 2

V

â7

"ôT

X

j

1 2 ( 1 — У 2 ) ^

I

(1 —

v)

C C 2 4

daäa2.

'

R

dx .

Eh2

àii\

I

du2

1

£ A 3

X

2 ( l - v 2 ) - 1 4

dx

1

12 (1 — v2)

da,

г da

à2

v

I

d 2

v "da)\ I

V C C 4 4 dct2

d x 2

' V

ds 2 ~ Ä ~ _ d 7 J _ t ~ Я d 7

AI

£ A 2

da 2

- f — ] +

£ A 3

X

5 T c

« ( v — 4- —

2(1 — v 2 )

~d7

12(1 — v2)

ö2w

1

da9\

I C C 4 4

dct2

d s 2

Ä

ds /

~~R~ ~ds~

Elfi

c w ( l

— V)

u u \

I

Elu

X

2 (1 — V2)

dx

1 2 ( 1 — v 2 )

х'

ds

dx

ds

R

dx

+

\ I Ö2W

i—(

с 2 4

(1 — V )

гл

1

du.2

Q i 3

• Qht3a^

Q 2 3

= GA/3 a2 .

Подставляя

значения

Na, Мц, Нц, Мц~ в уравнения (7.7) —

(7.10),

найдем

уравнения

устойчивости

в

перемещениях

1

I 1 _

у

<? И

2

с и Х

2

j

âx2

'

2

ös2

" Г

V

2

2Ä

oxôs

2

X

Ô2tti

.

1

с 1 3

с с 1 4

^ô2a 2

дх2

R

àxds

he 13

—

V twH

-4-2Nn

--

JR

• ^ ) = 0 ;

dx

R dx

dx ds

dx

Ô S 2 /

(7.15)

1 + У I

c\zh\

d2ux

-, j

_ С13Л

, £ззЛ2_\

dßU2

2

^

àxds'

"Г

Л

'

12/?2 J

ôs2 "

Л 2 С 3 3

\ д 2 Ц 2

.

A

1

+

V

c _ | _ £ 2 3 Ä \

^2g;

2

1

Ä

"

3/?2

ОДГ2

I

2

2

1 2 _

Г 6 Д j

dxds

I

I

ftg23 I

СД14 I

А с с 3

Л

d 2 a 2

/г

1 —

•X

k

u 1 _ 1 "

+

Л +

ds 2

2

2

~R ~dx~~

2

dx

1 4

^

25 /

R

ds

2~~ "is

12Д

" О3и2

1

â3u2

"

I

AÇ12V.

âai

A2fi 23

ds3

( 2 - v )

ds

J

'

+

dx

12 dx

1

Ôx2 1

2R

+ 2Т(С12-

R

)

ds

12

ds

2

A2<7c,34

d 3

« 2

d s d x 2 + Я 2

12/?

ôs3

/? U s 2

d x 2 , ) " 1 -

12

-1

0*2

" \а*г ds

R

дх

flC 12 / 0 2 « !

j

_

l —

V d 2 «! \ ,

hl

1 +

V ,

c 2 3 A\

d 2 u 2

2 V

' 2

ô s 2 j

'

T T "

С12

2

' 6 Д У

ds '

' 2

V "

/ г 2 е 2 2

^ 2 а ! ,

1 — ѵ а9-аЛ

^ Ifl і

1 + ѵ ,

с с 2

4

<Э20о

12

'ѵ адг2

'

2

Ös2 /

1

12

l

2 2

2

1

Я

dxds

,vhc12dw

c23fe2

ö

2 ^ ^ G ( l - v 2 ) ^ 3

a

-

•

ÔJt

12

E

v

V

'

;

2

1

2

1 2

+

У? j

dxds

+

2

( C l 3

R

+

6^2 J

ö

s 2

+

i

h

1 — у /

,

2cc 1 4

,

С93Л.

i 2 с 3 4 с Л

\

<92uo

i

I

/г2

/1

+ У

i

CC24 \

d"-ax

,

Д2 /

, 2co4 c

,

c ^ c 2

^ 2 а

,

|

1

12

I

2

2

2 -

Г

/?

j

âJCÔ*

'

12

Г22

^

R

1

&

J

às2^

i

А2

1 — У /

i

4cc 2 4

,

4 ç 2 ç 4 4

^ d 2 a 2

,

Л

/

С

,

ссц\

1

R

) R ds

+

12

2

\2 2 І "

Ä+

dl 1 дх2

Г

і

а І

A 2 / с с 3 4 \

/оЗа-

, /

0

.

азда

\

А2

2

„

120(1 — ѵ2) ^

( ^ Ч

r ( 2 — v)

, — ѵ

да == i

— a » .

- 3сds

"

2

E"

12 V R J

[ds3

1

v

;

dsdxi]

12

Т І

2

(7. 19)

Т ак им образом,

получена

симметричная,

но весьма

громозд­

кая система уравнений устойчивости. Пренебрежение

м а л ы м и

членами (они подчеркнуты)

по существу

ничего не меняет, так

как

оно приводит

лишь

к

некоторому

упрощению

коэффициен­

тов

перед

дифференциальными

операторами .

Помимо

этого,

тупим точно

так же, как мы поступали

при

преобразовании

системы

уравнений

устойчивости пологих

оболочек,

а именно:

введем

новые тангенциальные перемещения

и Д и2°,

соответст­

вующие

некоторой

новой

поверхности

приведения

такой,

что

тангенциальные удельные

усилия 7Ѵ,-;

в ы р а ж а ю т с я только

через

компоненты

деформации

е°* (6. 29). Нуль

у ец* означает,

что

компоненты

деформации

е0.* и в линейной

и нелинейной частях

в ы р а ж а ю т с я

через

перемещения « Д w. Очевидно, от такой

за­

мены величина

и вид уравнений (7. 2) — (7 . 6) не

изменяют­

ся, но удельные моменты

Мц, Нц, М~ д о л ж н ы претерпеть из-

менения,

так как изменилась поверхность приведения. Ііх мож­

но найти

из в а р и а ц и и потенциальной

энергии

деформации .

В соответствии со сказанным

полагаем:

с 1 Ч

а

h

à :е

(7. 20)

Т

Сіздх~

--1Ч

с В Т Т )

2 + 2

1 3 l ö s

Я " 2

2

г,

Подставляя

эти выражения

в формулы

для компонентов

Nn--

ЕІі

/дщо

f-V

duo0

I

w

' ]

_ v2 \

дх

=

r-V

Nm--

Eh

/ç>a2 °

'

o

s

1

R

(7. 22)

" 1 — v2

V ds

Eh

f

дщ°

Ä

•

ал- У

^

2(1 +

V)

\

ds

dx

a удельные моменты запишутся в форме

7Ип -

13^ѵ 11

12 (1 — v2)

112

Ur+V*r

"

fdai

:

да<Л

Я

" э2

71

/dx У

'

c»s<Г

-

П

,

(

â x 2

~ds2

+

6~6

ci]5

da-2

(7. 23)

Ös2

Я

ÖS

~R~

~дТ

M

= i - c

TV

1

1 — y /

oat I

àa2

E

k 3

1 2

2

1 3

1 2 1

12 (l _ V 2 )

-

^ (

l

-

v

)

(jPw_

1

da->o

dx

12(1 — ѵ2)

dx

ds

à2w

V

ди2о \ J ѵс

da2 ~l .

ÖS2

Ä

ds

J + T ^

4 ôs

1J

'

"

d2w

1

duo°

ds2

Ä

ds

Л

' 4 ô s

Я 1 2

— C12 ТѴі2

1 • v / d c ^ , àa2\_

12 (1 —

л>2)

9

ds

'"d

У

dx .

f d2w

_1_

du 2

CT)4(1

v)

da 2

~ H 2

Гdxds

Л

dx ,

R

dx

,

Eh?

„

, da. I

dar> \

'

12(1—\-2)

dx

ôs /

d2iv

V

du2 °

vcrjo âa2

1

' \ âxo

ds2

ds J

' ~~R

~~dT\ '

M22 =

~cXiN22

Elfi

V2)

T)

/ ^ a 2 _J_

V

^ 0 ' ^

'

1 2 ( 1 -

V ds

dx

d2 ic

d?w

1

duoO

C7)6

da2

d x 2

ÔS2

R

ds

~R~

ds

M72 = — c^N

1 2

№

•v2)

к

1 _ v

/02 a 2

,

ô a !

1 4 J V

12 (1

dx

~dT

• Л , ( 1 - ѵ )

â2w

1

dwfl

L

с 16

( 1 - v )

da2

dxds

/ ?

d x

"dx"

где

— 3cj2 ;

^ 2 —

^ 2 3

^ 1 2 ^ 1 4 '

\

= cSz

Ö C 1 3 ,

^ 4 = ^ 2 4 -

(7.26)

1 І 5 = С 3 4

3c 1 3 c 1 4 ;

1 l 6 = c 4 4 - 3C?4-

В формулах дл я удельных

моментов

перемещение и2 замене ­

но и\ (величинами

порядка h/2R по сравнению с единицей пре ­

небрегали) .

Так,

например,

«точное»

значение

М 2 2

будет

^ 2 2 =

—

cjN,

Eh?

h i

da[

. | ô a 2

12(1 — v 2 )

dx

ds

13 /

22 "

eis

ô a 2

d x 2

ds2

^

/? ds

Л

ds