Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

ной

деформации,

умноженному

на

(величину

интенсивности q.

П е р в о н а ч а л ь н а я площадь элемента вследствие удлинения

сторон увеличилась до величины

( 1 + е п -f-^âa)

AxA2dxxdx2.

В этой

формуле штрихи при ец

означают,

что

эти

величины

д о л ж н ы вычисляться

при w = 0,

поэтому работа,

произведенная

гидростатическим

давлением,

будет

Ea la

w

A

Q ~

J f <? ( 1 +

е'п + 4>) f (1 +

knz)

(1 - f k22z)

dzAlA2dx1

dx2

Ei

î i

Ô

Ea

l?

Ei

l i

Ea 1»

~ j ^ q (w-\-e'uw-\-e22w4-

-~ knw2-\--^-k22w^

AxA2dxxdx2.

E i

I i

Варьируя интеграл, найдем

Ea la

8Aq » J f [7 ( 1 + e'n + <2

+

+ k22w) bw +

Ei ii

Ea

la

+^(8<?; 1 +S4,)]

л и , < ? ^ =

f

f | ? И Л + А Й 1 Л Т ^ Й Ы +

È,

î ,

+ A

A

+

Л,1«2 + ^11™ +

^22™) S™ — [(^2 ^)д —

— A2aqw]

Ыіл— [\A1qw)t2

— Alt2qw]

8к2 } dxxdx2.

(6.61)

Вариация

работы

внешней нагрузки р,, действующей в на­

правлении оси ХІ([=І,2),

равна

Ea 1а

8 А р

=

j

J (^iSKi+^aSWa) ^Иа <^*і

^2-

Ei

I i

Таким образом, вариация

работы

внешней

поверхностной

нагрузки

ВЛ = 8 Л 9 + 8 Л р = j j ( И И 2 Р і - ( Л ^ ) . і + Л , і ^ ] 8% +

Ei I i

+

[A1A2p2-

(Axqw),2

- f i4l i S 9w] 8 и 2

+ q

[AXAА2иЬ1-\-Au2t2-\-

+

А Л

+

^2,іи і + ^ î i ^ +

k22w\

Ъчю)

dx2.

(6.62)

— Л i«2,2 — Л 1 | 2 И 2

— A 2.1«1

— ^22^)] ^

~Ь ^ 4 & a i ~f~

4- Z.58a2] fiOq d;t2 4- В/3 — I /jflOq — |" I2dx2=

0.

(6. 63)

Учитывая произвольность и независимость вариаций переме­

щений «і, б, ai, бш, приходим

к уравнениям

равновесия

А

+

ЛЛР а — ( Л а ^ ) , і +

Ла > 1 # та =

0;

/-2 +

Л ^ з ^ — (Л^да) 2

+

A12qw

= 0;

AJ — Л і Л а

с / + A2ultlq-\-

AXi2u2q-{-

Aji^q

+

A%1uxq-\-

} (6.64)

-f- ( 7 A U Î U -f- <7£2,до = 0,

из которых линеаризацией

получаем

уравнения

устойчивости

оболочек.

4. УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Линейны е уравнения устойчивости имеют вид

— ( Л 2 ? ™ ) , і + A2Aqw = 0;

Z,2 — {A^qw)t2 4- Ali2qw

— 0;

ю

= 0 ;

СО

Z 4 = 0 ;

Z B = 0 .

Здесь операторы

Г ь

Li,

L% получаются

соответственно из

операторов L b

L 2 , L 3 заменой

в нелинейных

последних

членах

тангенциальных

усилий

Ыц тангенциальными

усилиями

Nip,

имеющими место

в

оболочке

при докрнтическом

безмоментном

состоянии.

Г л а в а

7

КРУГОВАЯ НЕПОЛОГАЯ

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ

ОБОЛОЧКА

1.

ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ

УРАВНЕНИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ

Обозначая

продольную

координату

через

Х\=х,

попереч­

н у ю — через

s = xo и учитывая,

что / е ц = 0 , kz2=\IR,

получим вы­

ражения дл я компонентов деформации в виде

daj

âii2

duo .

ди1

;

* 1 1 =

dx

1

^22

ds

/г

>

' ' І З "

~

J егі =

—

т

дх

ds

â2w

1

à2x .

12

1 ди-2

â2w

11 ~

dx2

~~~~R~

ds

R

дх

dx ds

a u

= dax

;

a 2

3 :

da.)

y

= 0;

С м

1

ÔCl-2

~~dx~

ds

;

'^n —

R

ds

r

1

d a 2

d 'C

;

u-2

d:e>

Чіз —

R

dx

'

dx

R

ds

Уравнения устойчивости согласно

(6.65)

будут

àN

д :v

= 0;

(7.2)

dx

äs

ds2

àxds

17

dN-v>

I

âN,->

!

d.Vl2 2

I

2

9^12

12

ds

dx

dx2

> t U ;

"2

1

dv

' У ?

ds

'

Я

dx

1 ^dv = 0 ;

( 7 . 3 )

"

Я1

R

ds

R

ds

dU'h

ds

Vdxds

о /^2 ту

_ J _

_9"2 \

dx2

dx

ds

às2

-f-iV?!

0 -^-

•TV"

4 d s 2

I

Я

d; |

_ Г

Я

1

dx2

duo

, да

=-0;

(7.4)

V dxds

ds

R

Э/?Я ildx /dtf'

M , dxt

(7.5)

dx 1

ds

5 / / r

àH22 , 2c ^ M Ï 2

= Q2

(7.6)

dx

ds

R

dx

R

ds

Пусть

до потери

устойчивости

оболочка

находится

под дей­

ствием

осевых

с ж и м а ю щ и х

усилий № , внешнего

поперечного

давления q и крутящих

концевых

моментов М к р . Д л я этого

слу­

чая

загружения

в уравнениях

(7.2) — (7.6)

следует

положить

Nu-

nR2

yVS =

qR,

вследствие чего уравнения

приобретут вид

dNu

dNn

i

dw

=

0;

(7.7)

дх

ds

dxds

" \ ds2

R

дх

dNy

dN22

2

dM]2

i

1

dM22

N о

â2iio

aï

« 2

+

дх

ds

R

дх

R

ds

dx2

R2

\dsdx

R

âx )

(7.8)

1

1

дЧ1и

, 2 д2Мі2

i

дШ22

N22

дх2

'

dxds

ds2

R

ол-2

1

[dxôs

R

âx

J

\

ds2

« 2

R

дх !

dH

il

<?Я1 2

Qi3 ;

(7.9)

àx

ds

dtfoo

,

2с

дМ^

=

Q2

3 -

(7. 10)

dx

Л

дх

R

ds

Тангенциальные

удельные

усилия

и

удельные

моменты че­

рез перемещения

в ы р а ж а ю т с я следующим

образом:

c 1 2

(1 — v)

2

,

i daoui \

2

ïi:

J _

d«2

+

X

//dcuoa

/i • \ f d

2

[дх

ds

/?

dx

I r ( l — v) C C J 4

da 2

'

Я

dx~