Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

т. е. отличается

от

принятого

тем,

что

вместо и2°

берется

и2.

З а м е н я я

в этом

выражении

и2

согласно

второй

зависимости

(7. 20),

получим:

Mo

Eh*

да.і

да2

2

І з - ^ а г Т

12(1

— ѵ 2 )

^2

( ѵ ~дх~

ds

- Л »

d2w

d2w

ди2°

А_

ди2

h

т)зс1 2

да2

V dx2

'

ds2

^

R

ds

2

R2

17~

ds

h

f i 3 c 1 4 c

да2

,

А

с із%

d~w

.

c]s

да2

'

(7.27)

R2- ~ds~*~2

AT

J&~*~~R~

~ds~

П р о д о л ж а я неограниченно

процесс

замены

и2,

придем

к

вы-

ражению:

М2.2--

ЧІ2

д а .

д а 2

2

12(1

— ѵ2)

дх

ds

d2W

7|з

d u 2 °

p

A T } 3 C 1 2

Ö 0 2 _ 0 _

дх2

R

ds

2Я

ds

AcT|3 e 1 4

да'

L Q

h_

сіз-чз

ô2w

g

С І 5

d a 2

(7.

28)

2R2

2

/?

Л

ds

ds

ds2

"

Здесь Q — бесконечная геометрическая

прогрессия

Affi

13

(7.29)

2 £

2R

1

+

2R

Заметим, что коэффиценты С\2, сі3 ,

115 сами

по

себе м а л ы

п а

сравнению с

единицей,

так

как

зависят

от

разности

жесткостей

чек, поэтому

всеми

подчеркнутыми

членами

в предыдущих

уравнениях можно пренебречь в силу

соотношений

2/?

3 ^ 2 ^

2 £

^

2У?

после чего приходим к принятому нами

значению

ѵИггТаким ж е

путем находим выражения д л я

и

Мц~.

Перейдем

к составлению уравнений

устойчивости. Д л я этого

выясним, как

нужно

вычислять

Mij,

Нц

и

, чтобы поверх­

ш = 1 f S \N"ieTj+[Mij

~

тСіз7Ѵ")8у,7+

1,1

+ ^ H i j - ± c l i N i ^ a ; j +

(yM-j-^cliNi^

сУ,и+ •

м

і

} -

(7.31)

мт,=

щ

-

Теперь с принятой точностью можно считать, что

Н,

(7. 32)

Действительно,

Лх»2 -|-лл;

^ » ^ Ѵ 3

;

^ »

^ V

s

8

.

(7. 33)

т а к как

\

> % ^

\>\із>

1 1 і > Ѵ з 2 -

(7. 34)

Поэтому пятое уравнение можно принять в виде

дх

ds

(7.35)

Преобразованные уравнения

устойчивости

в

перемещениях

•имеют вид (нуль над щ опускаем)

д?и.\ I 1—v

д-их I 1 + v

д?а2

г

v

dw

•2N *12

д?и

дх?

ds?

2

dxds

R

дх

dxds

_ N

*

( д и і _ _ ± а т ] =

0

(7. 36)

\ds?

R

дх

1 + V Ô2«i

,

0>2(i2

,

1 — V

<92ц2

1 дю

2

dxds

ds2

1

2

dx*

R

ds

п 12Д

Ôs2

1 v

;

dx*

' d x d s /

3

U ^ 3

àx*ds)

- N

«

^-+2N»

№

ds'

+ - L

tf.*

= 0;

(7.37)

«9x2 '

[dx

R

dx

I ' R*

^ 0 ( 1 - V 2 ) . Д Г

У Ѵ 2 0 ( 1 - У 2 ) ,

. _

Eh

2

Eh

'

12"

(7.41)

Уравнения

(7.39) — (7.40)

тождественно

удовлетворяются,

если положить

i -

f ѵ 2 ) х ;

и9=

_Л2

7 а W l _ L ^ ü * І ѵ а ) ф;

I 1

Р

2

(7.42)

•ПіР

â x

Л

" ï l p t f "

-ПіР

as

A

^іРЯ

2 f

V 2 , Л ь Лг — дифференциальные операторы

вида

ѵ= 92

1

,

9 2

,

9x2

'

ös2

(7.43)

Л 1

=

1 —1 — V Л2 / 02

92

\1

9x9s

ß

V9s2

j]

1 — v А2

92

;2

V

9x2

92

л,

1 —

1

_ v

А2 / 92

V Я

V Я

-

9x2

ß \9x2

9s2

П о д с т а в л я я

в уравнения

равновесия

(7.36)—(7.38) функции

X и я|з имеем

9x2

1

9

9s2

1

1

2

dxds

1 + ѵ

* ' і - ^ ѵ ѣ

+

^ + ^ л ѵ Ш і - і ѵ і х - О ;

2

9x9s

V"

ß

" I

Г 1

' V R

'

Я

(7.44)

1 + v 92м,

,

(

92

,

1 — v

92

IN*,12

92

2

9xôs Т

9s2

9x2

9x9 s

9x2

ï ' ( 1

- f ' X (

1 -

T

'

'

]

' +

1 9x2

&A2

9x9s

'

- ^9s2 '

/?2

ß

..'л

12/?

ds

[

V я

1 I — +

( 2 - v ) ^ U

52

92

952

'

^

У 9х2

1 1

1

Я

ô s i

ß

' , x

1

^ 1 2 j<?

dx

V

ß

У

Я

Л ѵ ^ О .

(7.46)

дх

Я

9х

З д е с ь

Ѳ = Л 8 =

Ѳ1

+ 2вя + Ѳ,; 'П1 =Ѳ1 ;

*Па = Ѳ 1 + Ѳя;

j

a

Іііз — 122

ві0 3 — 022 .

Чзіі

(7.47)

Ѳ 1 = ^ [ 1 + 2 ( Ѵ і + у 2 ) - 3 ( Ѵ і - у 2 ) 2 ] ;

ѳ2 =з^ъ Ші+ък)+6Ѵі72^з

Ci+4);

93 =4

( Y A

2

+

V A 2 ) -

3 (3YA -

Y

A ) 2

1 — V

A2

Фі=

1

f

V)t.