Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Эту систему можно привести к одному р а з р е ш а ю щ е м у

уравне ­

нию двенадцатого

порядка,

что соответствует

числу

граничных

условий,

которых,

как следует

из в ы р а ж е н и я

одинарных

интег­

ралов

(6.60), дл я каждого

к р а я ставится

по шесть.

Д л я

этого достаточно

ввести новую

функцию %\, положив

Ѵ2 ѵ3

1 — у д2

\ ,

2N2*

д2

I — V

dx2

\àx2

ds2j

'

1 — V V Л2

дх2

1 — V à2

04

1 — у â* \

+ 47V

д2

V 2

-

2R2

ds2

ds*

2

dx2ds2)

1

2 1 — V

dxds

2N\*2

2NX*N2*

д*

8ЛГ*2

ô 4

Ä 2 ( l — V )

ds2 1

1 — y dx2ds2

1 —У äx2ds2

d2

h2

1

dxds \R2

ds^

àx3âs

(7.48)

1

d3

V

d3

R

dxds2

~R

dx3'

1 2 R [dx2ds

2N2*

1

v

,

d2

1 — У Ô2_

4JV*2 ;V2 *

i

аз

1 — y R dx \R2

2 dx2

1 — y R âx2ds

ds2

2Ni*N2* d3

2 N :

1

Ä 2

і-гА2

[R(l — У)

Э х 3

# 3 ( i

_

v) ô x

1 — ^ - v 2

Xi-

h2& 1 + v d 3

1

» A 2

A2

12/?

1 — v

dxds2

(7.49)

(2 + v)

Ô3

1

d 3

2 Л У

/1 +

v

дз

,

оз

(?A-2(3S

8Jv:12

0 * 2 ^

1 d S 3

12

/3 — v

<?3

03

03

+

(l — v)R\

2

&efo2

д*з/

(1 — y ) / ?

dx2ds

d2

,

о2

â2

(1 — v)R

dxds2

dx2

ds2

'

1 — v

à * ô s

2N2*

à2 \ h2

1 — y

ds2j\2R

(7.50)

С в о д я систему уравнений к одному,

найдем

р а з р е ш а ю щ е е урав ­

нение

устойчивости

D l

»Ä2 ѵ

з \ (

f

v .

v W +

A

ü

/ ü +

( 2 _ v ) ü ^

( * - +

Л2

+ < 2 + * > £ ) ] (

EhR2

ös2 V

+

02 \2 / 02

A _ ü ) U 1 +

^ . ^ f l _ ^ v

2 ) 2

X l +

( 2 - v ) 0x2/

Vös2

1

1 — v u W J

&

dx*\

ß

У

я

1

_ö2__ 2 (1 +

v)2

â

^

1

dx2

2

d s 2

R2

ал-2

• - £ * ) ' * +

-fiva °

I — L 2

2

l _2 v

Я 2

djfl~R*

)

{

ß

I

A1T^

о2

v

+— v

9

)

dxds

1 _

v R2

^

R2

дхУ {

(7.51)

компактное

уравнение

О I 1 _

) Г

02 \ / 02

р

ѵ Ѵ

+

І

+

— )(•

'

^

vѴ 2д ѵ Ѵ

2 VѴ 2 V V - г Ад 2

ÔІS 2/ ^^ SІ2 ~( V2 _ ѵ )

dxij\ds2

+ ( 2 +

ѵ ) ^

) ]

Ь

+ /?2

0X4^

Р

/

d * 2

ѵ 2 ѵ

/522 - d^s 2 -

Ä 2

дхЦ\

ß

2

^ S 2

^R2

^

^

± £ н 4 Ѵ ( і - £ Ѵ ) ь + ^ ,

^ f v v -

î — v Ä 2

a^2

'

я*

ß

1 — V '

X ^ v

'

R2

- ^ v

2

k

= û .

-X

+ ^ ^ ) f i

2

(7.52)

^

R2

дх2)

\

ß

У ^

on-if-

V ) v = v W . „ + t £ L ( . _ |

+

+

äs2

(7. 56)

вследствие чего

V 2 X i ~ ^ 7 a -

(7.57)

äs2

Поэтому имеем уравнение

о 11 — — —\ — I ^ L _ L _ L V I E H

D I

( 1

H°- 0 2

ß d ^ J ^ s [ d s 2

1

#2 j ^

1

m

дх*у

p d.52

1 ds2[ 1 [dx*

R2

j 1

1 2

Vdxds 1

/?2 j

1

Щ^- 1 -Ц

(7 59)

ds2[âs2~T

R2 j '

1

тогда как в (5. 41) фигурирует

сомножитель

— + — V .

(7.60)

Ô S 2 ^ JR2 J

^

'

Отличие, как видим, несущественное. Однако

предпочтение

3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ

СЖАТИИ

Пусть свободно опертая цилиндрическая оболочка

находится

под действием осевых с ж и м а ю щ и х усилий N.

Введем в уравнение

(7.52)

N°

= N; N2° = 0; i V ° 2

= 0 .

(7.61)

D l

» А2

ѵ 2

ѵ 2 ѵ 2 ѵ 2 •

! д х 2 ) ^

Я2 d s 2 \ d s 2 ' ѵ

(2m,

n — число іволн

в продольном

и поперечном направлении;

R, I — радиус и длина

оболочки; %0 — const),

получим выражение

д л я

N:

„ , Ш2

« 2

N--

О Я 2

1 + Щ —• + —

X

Я2'

1

X2

^ Я 2

m 2

« 2

І 2 ~

+ 1 * 2

Л 2 \ 4

2 Л2

2m2 \ 2

у2/и4

X

[ X2

Я2

Я4

\ Я 2 f l 2 "

Х4

m 2

я г 2

л 2

\2

/г2

2 (1 +

У )

т2

"х2"

Х 2 " +

я 2 ,

Я4 +

Х2 я2

~~X2"

(7.64)

/

m2

ifi

\ 2

n2

2(1

+

V)OT2

Х2я2

— ; , 2 =

i 2 * 2 ( i - v 2 ) . , _

Я 2 А 2

/ ?

Я4А2Ѳ

~ ~

ß ^ 2

В том случае, когда оболочка теряет устойчивость с образова ­

нием длинных продольных

волн,

• < 1 ;

' г 2

» ! -

(7.65)

Тогда уравнение (7. 64)

можно представить в виде

Л2

1 + Ыг —

„

#

ц

2

Я4

N--

£ > я 2

^

Л 2

( „ 2 _ 2 ) 7 2 2

^

Х2

(7.66)

Я2

п2

т2

л 2 ( ; г 2 - ) - 1)

— Я 4 ( П 2 + 1 )

136

я 2

X2

•2)

R2 '

(7.67)

1

+k-

(«2 + О2

при /1=2 значение N будет

KP"

(7.68)

Эта формула

дает несколько

меньшее

значение критического

с ж и м а ю щ е г о

усилия, чем

соответствующая

формула полубезмо-

ментной теории (5.49),

там

вместо

2 ] / 2

стоит коэффициент 3.

ной теории помимо предположений

(7.65) использовалось условие

неизменяемости поперечного сечения

оболочки

(5. 12), что делает

ее более жесткой.

Р а с к р ы в а я р., перепишем

формулу

(7. 68) в

виде

дг

__ZEh2

, f

66 ( Я 2 + •4 AU)

(7.69)

" Р

~

\5R

V

( 1 — Ѵ 22)((яЯ2 + 4А)

Д л я случая, когда оболочка теряет устойчивость с образовани ­

ем коротких продольных

волн

И з общего в ы р а ж е н и я

(7.64)

получим

1 +

/

/л2

и2

m 2

«2 \ 2

Ря2

U 1 Х2

+ ^ 2 "

"x2~+

^2

R2

1 +

*

/ И 2

m2

Х2 +

Я 2

)

X2

m2

+

m2

n2

\ 2

(7.70)