Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

в) торец свободен от связей

( M = Q = 0)

d 2 l _ d 3 i

_ n

(1.126)

d.v-з

жет

оказаться

достаточно утомительной процедурой, особенно

для

нагрузок,

терпящих р а з р ы в ы

на пролете.

Н а и б о л е е эффективным методом решения подобного рода за­

дач

является

метод начальных

параметров, разработанный

Суть

метода начальных параметров

состоит в том, что произ­

вольные

постоянные общего решения

в ы р а ж а ю т с я через значе­

ров

известна заранее, поэтому объем вычислений при определе­

нии

произвольных постоянных существенно сокращается . Н о для

*

Крылов А. Н. О расчете балок,

л е ж а щ и х на упругом основании. Л . А Н

СССР, 1931 (Справочная техническая

литература) .

нородного

уравнения,

которое

бы для произвольной

нагрузки

q(x)

само

вместе со

своими

последовательными производны­

ми

вплоть до m— 1-го порядка

(т — наивысший порядок

произ­

водной в

уравнении)

в выбранной точке о б р а щ а л о с ь

в

нуль.

переменным верхним пределом, используя

в качестве ядра фун­

даментальную функцию Кошп, к которой предъявляются

следую­

щие требования:

1. Она д о л ж н а

удовлетворять

однородному

уравнению.

2. В выбранной

точке вместе

со своими последовательными

производными вплоть до m—2 функция

д о л ж н а быть

равна

нулю.

3. m—1 производная функции

в выбранной

точке равна об­

ратному значению

коэффициента

при старшей

производной в

Вводя безразмерную величину

п2=?—

,

(1.128)

приведем р а з р е ш а ю щ е е уравнение

(1. 127) к виду

, dx* Г- ) dx*

DP-

Используя

его, находим

функцию

Коши

(в качестве

началь ­

ной принята точка х = 0 )

0

W = 4 ( s h ^ - - f ^ - ! ! f ) .

(1.131)

Л 5

\

/

6

I3

I

)

Теперь, учитывая

коэффициент

при q в (1.129),

запишем

иско­

мое частное

решение в

виде

X

j

K{x-xQ)q(x0)

dx0,

(1.132)

о

где

V

I \

пх .

\

Фх^

,

пх

, ,

, 0 0 ,

К

(х) =

l

6

/з

s h — .

1.133)

v

1

/

v

'

В качестве

начальных

параметров

примем

при л' = 0

значения

следующих

величин:

dx°-

ъ

dw

dx

if-

dx'i J

dx

1

-

if-

dx°-

j

dx*

'

i l .

134)

\

„

НУП

!

//i-3

/?2

dx"-

!

dx'i

S:

rf

rf.vl

7- = Q _ Y - i Q , = ü 4 ^

имеетI

dx°

Отметим, что при ö - > 0 S =n-7 = 0 , a для ya(x)

место со­

отношение

уа

[л)

( l — %) Р-( Q - 7 ) .

(\.

135)

£>3/г2

Используя общее решение (1. 130), получаем

в ы р а ж е н и е

для

функции %(х)

-£(X)

=

W0—

ср„А'

—

_

QQI3

/

хз

. X

^ L _

V 6/3

п2/

Л Ѵ

'

0

,

0

D

\2P

1

if-bj

D

7n/3 s h , 1 J C

5 0

/ 2 ( l _ S ) Л

^ С Ь ^ ) + У ( Л ' ) .

(1.136)

Отсюда, используя (1. 134), получаем

•Ш(Л') =

7ІУ0

— ( ? 0 X

+

50/2 (l - «)

ch /г*

A

7 - 0 f 3 ( i - f t )

_ м

1

J

(x);

D%1&

S«2

rfx2'

V >'

û(2 N d/(Jc)

rfA-2

dx

ya (x) =

. (1 — fl) /2

'

„

,

ял-

I

c

и

, /гx

d3J

(x)

00

D9/z2

Q0-T0

ch— + S0

—

s h - — ß — V

5 W = 5 0 c h ^ - — ^ s h ^ - D - ^ - - ^ ^ .

/

/г

/

/і2

dx4

2

3197

33

силы Р, приложенной в сечении

х = а (рис. 7). Здесь

начальные

параметры

таковы: w0

= 0, сро = 0, М 0

= — р а , ш = 0 пли Qo=T0

= P.

Вводя

ô — функцию Д и р а к а ,

предста.вим

внешнюю

нагрузку

в виде

q{x)=à{x—a)P,

(1.138)

,Р

Рис. 7. К

определению

функции

пере­

f-

мещении

для

консольного

стержня,

нагруженного

сосредоточенной

силон

а

Р

1

тогда частное решение

будет

Р / 3

г

о

0

х<Са;

(Р/з

К{х

— а)

л >

а.

(1 . 139)

\Dii3

Д л я

функции перемещений получаем в ы р а ж е н и е

/Г-'ö

X*

\

Pß

[ хЗ .

пх

1— sh —

Л

Dn°-Ü

1

/ 2

2

D

\ /з

ІФ

/г 3

/

Dim

l - & + »ch-

P/s

in

(Л - — а)

6

п 3

(JC — а ) 3

•sh п (х — а)

( 1 . 140)

ОпЗ

(

/

Здесь фигурными

скобками

обозначены

скобки

Клебша,

обла ­

д а ю щ и е свойством

\/(х-а))-

0

х<С.а\

(1.141)

f{x

— a),

х>а,

которое

сохраняется при дифференцировании

и

интегрировании.

В выражении дл я % остался неопределенным один

п а р а м е т р

S0 , его величина зависит

от условий

закрепления

торца

х =

1.

1. Н а торце

стоит

бесконечно ж е с т к а я

д и а ф р а г м а

а(/ ) = 0 ,

или а3%1с1х3 = 0

S0=Pl

с.Іі п — ch п (/ — а)

(1.142)

п sh п

2. На

торце

д и а ф р а г м а отсутствует

S(l) = 0,

пли

d*x/dxi=0

п (/ - а)

sli п — s h

l

S0 =

Pl-

(1.143)

n ch n

Д л я

определенности

рассмотрим подробнее

второй

случай,

считая, что сила

расположена на торце

консоли

а=1. Учитывая,

что теперь / (.ѵ) = 0 , находим

Как видим, в данном случае в заделке упругая линия

стержня

претерпевает перелом, но угол поворота нормали

яр равен нулю,

следовательно, в случае заделки жестко закреплен вертикаль­

ный элемент торца .

В теории однородных стержней и стержневых

систем

для оп­

ределения отдельных перемещений и раскрытия

статической

ваясь на принципе возможны х

перемещений, получим аналогич­

ную формулу дл я трехслойного

стержня .

Виртуальные перемещения,

фигурирующие

в общей форму­

лировке принципа возможных

перемещений,

отсчитываются от

2*

35