ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 1
204
Так как по принципу суперпозиции обобщенные потенциалы выражаются формулами:
|
|
^ |
(7 .2 .20) |
|
то, |
подставив |
(7 .2 .20) в граничные условия |
(7 .2 .7 ), |
полу |
чим систему уравнений для определения коэффициентов |
С{ и |
|||
С2 |
при ЗС. = 0 : |
|
|
|
|
l(ju,-Xr) |
(jus-t-h)UA?)C,(P) + |
|
|
|
+ [ ( / u , - J r ) + & ( j u i ш ] 6 c p ) C a p ) = |
* y p i p ) ■ |
||
|
Г ( Л + Л ; |
- A j 7 £ f/?j £ V p ; + |
|
|
f l(jU ^ Jls )^ (jU z - Jr )U fp ) Сг(р) = -Ы (р ).
|
|
|
|
|
(7 .2 .21) |
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
С , - ^ Ш ) |
|
, |
Сг ^ К ( Р ) , |
|
|
: |
) |
[ |
( - iM/ A] i |
f P h |
(7.2.22) |
+ К1Д /V, - i r j |
+ <£ ( / / 5 + М ] 4 г ( P) |
7 |
(7 .2 .23) |
||
A ^ - k[(ju,-Jr) -ttf {Jis+A№ (P) 4 |
|
||||
4w +jc;[(a ^ |
|
-M7& (p) ) |
(7 .2 .2 4 ) |
||
205
A~[( J4, -Jr) +jf±(ju3 -t-Js)] (P)[(ju3-I-Jr) +
+^~z(jUz ~Jr)] {>2(P) ~
[iflзЛг) |
ijuz-Jr)]it (P)I(JU, -Jr)+ |
+ f z ( j U 3 + b ) ] & ( p )
( 7 . 2 . 2 5 J
Для малых значений V коэффициенты Ci(p) как и в.' предыдущей задаче, можно выразить приближенной формулой:
|
Р . / п л - П |
М Р ) |
. |
(7.2.26)' |
|
|
|
|
р (р + Г Л ) > i = i,Z j |
||
гда |
/ |
|
|
/ |
|
|
D = ^ |
|
R |
|
|
|
А |
' |
Ь г ~ Д |
( 7 . 2 . 2 7 ) |
|
Здесь определители имеют следующие значения: |
|||||
A 'i = { * [ ( / f , - м |
( л + а ; 1 - |
|
|||
|
- ( i - k ) l( ju s + Л ) i f 20( j u z - J r )] } С о ; |
||||
Л г ~ l(i-ic)[(jU ^ X r) |
+fc o (jtg - Jr )] - |
||||
|
' Kk f . ~JrJ + J*io(j<3 +JrJ-li &0 |
I |
|||
A |
- [(jU, - Jr) |
+fa |
( |
+J r)] * |
|
|
|
206 |
X |
+Ar) ^$ 2 0 ( |
A?)! |
- |
I(jV3 + Лг ) + & ( > |
, - A r )] * |
x [( /и, - Л г ) + <&> ( j u 3 4- As-)].
( 7 . 2 . 2 8 )
Коэффициент '£7 равен:
( 7 . 2 . 2 9 )
ёсо
Теперь мы можем сразу выписать решение задачи по аналогии с первым разделом главы:
Таким образом, характер распространения |
сдвиговых |
волн |
|||
в полупространстве при |
наличии диффузии тот же, что и у про |
||||
дольных волн, и полученные результаты |
отличаются лишь |
чис |
|||
ленными значениями. |
|
|
|
= Р0 = ( b n * t |
|
В качестве примера |
рассмотрел случай |
||||
для поперечных волн. |
UdA) - J |
R> |
-? Л . |
Учиты |
|
вая это, выпишем выражения для"обобщенных потенциалов: |
|
||||
Д. |
i'fi) |
у |
t у- |
I |
|
Ро |
( 7 . 2 . 3 2 ) |
|
207 |
|
у y & - Щ х . + ъ Н ) |
Ро |
2 6 |
х (t ~ ~ £ г )г м (t ~ ~jk ]
еГо
(7 .2 .3 3 )
Отсюда находим вторые производные по х ;
£ Щ - £ ь (*,» >
А . э2!^ - У * ,п |
,, |
L=i |
(7 .2 .34) |
где
бс e (S,',x + r ; t] {zMio&u ( i - z l o ) +
+ & } Н Ы ~ х &о).
|
(7 .2 .35) |
Для расчета напряжений необходимо подставить выражения |
|
(7 .2 .34) |
в (7 .2 .4 ). |
На рис. |
35 приведены графики зависимости напряжений от |
расстояния и времени для различных значений пористости,по лученные при следующих исходных данных:
?гь Ч Ы О * |
J4t =0,3(H07£ |
Z ; 1Сг = 0,30, |
J b = - Q o a f ; |
ju b* 0,20-10*£ г i |
Ю3 =0,Щ |
|
М =0,10-I0*g£t ' |
|
(Эху, Jlxу
<эУц при К=0, У = О
Рио.35.
209
В качестве аргумента привета суммарная величина \>(£tlX + Z ii) , учитывая оба фактора затухания.
Графики показывают, что с увеличением пористости напря жения у первой компоненты уменьшаются, а у второй - возрас тают, что объясняется следующим: с увеличением пористости доля внешних воздействий, приходящихся на первую компонен ту и пропорциональная величина ( * - £ ) уменьшаются , и нао-.-^- борот, для второй компоненты возрастает, будучи пропорцио нальны величине К. Суммарная же величина напряжений при данном значении параметров среды практически не зависит от пористости, а на границе среды в точности равна величине внешней нагрузки при всех значениях К.
Выше указывалось, что при К— *'0 полученные ранее фор мулы дают решение для однокомпонентного полупространства. На графике это выражается тем, что с#гу = 0 пои К —> 0.
Продольные и поперечные волны в двухкомпонентном слое, жестко связанном с однокомпонентным
полупространством
Рассмотрим упругий двухкомпонентный слой толщины h , ле жащий на однокомпонентном упругом полупространстве и жестко связанный с последним / 6 J .
I . Пусть на поверхносг ~ |
;йствует |
нормальное |
напряжение интенсивности |
В этом случае на |
|
основании изложенного ранее, |
как в слое, так |
и в полупрост |
ранстве будут распространяться продольные одномерные волны. Уравнения движения среды будут:
I) для двухкомпонентного слоя
|
|
|
|
212 |
|
|
|
Из условия равенства перемещений при |
х = U |
пол.учим - |
|||||
еще два соотношения: |
|
|
|
|
|
||
|
э<л . |
эФ„ |
аФ. |
|
|
|
|
д х |
д х |
1 |
д х |
Э х |
|
|
(7 .3 .12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь подставим в граничные условия |
(7 .3 * 1 0 ),(7 .3 .I I ) |
||||||
и (7 .3 .12) |
общие решения (7 .3 .6 ) и |
(7 .3 .9 ) . При |
JC= 0 по- |
||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
CM +2j/<)(Q<Cu *CuCt2 + Ъ С г<+аг £ гг) + |
|
||||||
+ U 3 +2jUi К ъ |
Qi Си + ь |
q{ ci2 4 |
>i zqz ег< + |
|
|||
+ iu Qz Cz z ) ^ u - k ) K ( P ) ; |
|
|
(7 .3 .13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Лц 4 2'jJy) (Qi Сц |
4 Qi Ctz 4 Qb Сц -4 Qz Сгг ) 4 |
|
|||||
A ( X + Z jJ z )(Q iC i^ Q ±Clz\+ QzCzAf Q£**>?J= |
|
||||||
= |
icFo(P). |
|
|
|
|
(7 .3 .14) |
|
При |
получим следующие соотношения: |
|
|||||
(J <+ ZJJ,) (а,й,е ® '1+ 0 , б 2 ё я |
h+ |
|
|
||||
+Агй,е®'’+а1сг,ё'е '’]+
+ U S + 2 / 4 К i/h C u ff'P ti t a<el t ( Z e h +
+/?Ай(е®',+огй,г?,ёЙ 'А/1= (7 .3 .15)
Р/»
Ч 1 - к ) а . * г л H b - f r e * |
> |