ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 191
Скачиваний: 1
192
П |
)Р~(Ctjt b R |
|
|
(7 .I . 15) |
||
|
|
|
|
|
||
Уравнение (7 .I . 13) имеет два корня |
^ |
, |
подставив кото |
|||
рые в (7 .1 .12), найдем Qt ( p ) |
и Ог ( р ) |
. |
Подробнее |
об |
||
этих коэффициентах будет сказано несколько ниже. |
|
|||||
На основании изложенного, |
система уравнении (7 .Г .7) |
|
||||
сводится к двум однородным уравнениям |
Гельмгольца: |
|
||||
^ r = O |
i ( p ) ^ i o > |
|
|
|
(7.1.16) |
|
общее решение которых имеет вид |
|
|
|
|
||
U x . P W p ) e F * * * & < p ) e IS ! iff* |
|
|
(7 .1.17) |
|||
|
|
С- < г |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Исходя из дополнительных |
требований |
к поведению иско |
||||
мых функций на бесконечности |
(отсутствие |
нижней границы |
и |
|||
связанного с ним отражения волн), первое слагаемое в выраже
нии (7 .1 .17) |
отбрасываем. |
£<: (Р), исходя из |
||
Перейдем к определению коэффициентов |
||||
граничных |
условий, |
согласно принципу суперпозиция!: (7 .1 .18) |
||
|
Ф,0 = %0 + %о. |
|
||
|
(к с = *1Хо + Чг %с. |
(7.1.18) |
||
Подставив |
(7.1.17) в (7 .1 .1 8 ), а затем используя |
|||
(7 .1 .9 ), |
при |
Х - о |
получим два уравнения для определения |
|
CilpJ |
: |
|
|
|
[и, +gjut) + ^ (As+2JU3)]Q4P) CiIP) +
+ [(A, +2jUi)+%z(As +2/V3)Jtfi Ip)Cl (P) -li-K) F„(P) ,
193
[(Li +SjUjj) + £г (jU-*2ju2)Jci<(p) Ci(p) +
+ [fi/v+2ju*) + £(Лг +2jli3)]oz(p) Cz(p) = 1CF0 (PJ.
Откуда |
(7.Г.19) |
|
|
с* г ^ д ~ Ш |
Fo(p) |
(7.1.20) |
- |c [ ( V 2 / / * / + fc ( A i + Z jU jla * ( P ) (7 .1 .2 1 )
Д 4 = { [ ( X i + z j u J + f c l J s + Z j u j l & f P ) '
- { i - C ) [ U li+ 2 j i 1)-hfl i a z + 2 ^ ) J ^ (7p.1) .22)
A ^ [ U i + 2 j U 1)ifa(Jlbl2f<i]QJ(p)-[Q4+2ft;i )+ |
■ |
V
+ k ( Л ^2ju2)]q2(P) - [ t i t + zj/t) +£ ЛЬ +2^ /j) J a 2(p h
* [<S!ip'2JA3) -f ^ (-^г 2 yfyj )]0 i Cp) .
(7.1.23)
|
|
|
194 |
|
|
Таким |
образом, мы |
пришли к следующему: |
|
||
|
-\1асрГа |
|
-\ШрГх |
|
|
Ф,„ = СлР) е |
|
+ Сг(Р)е |
|
||
|
|
|
|
(7.1.24) |
|
В общем случае обратить эти выражения по Р трудно. |
|
||||
Здесь мы будем рассматривать лишь малые значения \) , |
для |
||||
которых и будем искать |
оригиналы |
обобщенных потенциалов. |
|||
В связи с |
этим отметим |
следующее. |
Для малых значений ) |
с |
|
точностью до величин второго порядка малости коэффициенты
ц и |
|
можно привести |
разложением в |
ряд по'') |
к виду: |
|
|
|
Ь ^ Ь о + Ч ц - р ' + О О * ) , |
i = |
(7 .1 .25) |
||
где |
и |
- постоянные |
вадичины, |
не |
зависящие |
от \) и |
Р . К этому виду приходим после решения квадратного урав
нения (7 .1 .13) |
и анализа |
его коэффициентов |
(7 .1 .14) |
и |
|||
(7 .1 .1 5 ). |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты /£о |
и |
выражаются следующими формула |
|||||
ми (для |
L = |
I |
берется верхний знак, для |
i= 2 - нижний |
|||
знак): |
- |
(C,.R,+ok.fl,-g,.Ba -CU&) + |
|
|
|||
Vi- |
|
|
|||||
|
|
|
2Cd2£iZ - d , f „ ) |
|
|
||
+ 1(^2У |
а |
Р |
, 2 |
)~kLc.z.?ii~C,^n)(d2fti~clij2T.)] |
^ |
||
|
|
|
^ |
|
d{ f z7 ) |
(7.1'.26) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
195 |
х [ (c< + Ct - d t - & K C Z£ S |
<?, & - d< ? * > ' ' |
* f e 2 Ч р(/- е*& - d<& Y - И С г & - £ Л Ж $ п ~ с Ь & 1
- |
+0^ |
_ ^г К С 2 ^ г + с/г "C-i^zz |
" |
|
- ■*( с, А -С,& № +db) - г (с, + сг)(Л j}f- ^ а)]j |
||||
K l~ ( & |
& + d t f i t - C i S n - c lI & ) ± |
(7.I.; |
||
|
|
|
|
|
±J (C2 j |
^ |
- e , $а -Ж ? < г)* -Ш г $ М W |
^ j b |
|
-dfa7]t
d i ^ dp |
I ~ (C j Pi2 + cli .?ц ~C-t$>?~ d t S z i } .(. |
|
d t& - d & 2 1 |
* ( d * f n - c f i % J |
|
r
++d2&<-c&,-dt&t)2-tfc$t-££«)(<LSud&,)
2 {dz f i z - d i Szz)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
196 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Ct , Сг, |
di и |
clzберутся из |
(7 .1 .8 ). |
|
|
|||||||||||
Подставив |
коэффициенты |
<ic |
из |
формулы |
(7 .1 .25) в |
|
||||||||||
(7 .1 .1 2 ), приводим |
foe |
( Р) ' |
|
при малых |
значениях |
д |
к |
|||||||||
виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
][0~[рУ ^QioP |
|
+Q;t 9 |
4 О ( У ) ( |
|
|
(7 .1 .28) |
||||||||||
где коэффициенты |
|
£?10 |
и |
Qu |
от |
3 |
г |
р |
не. зависят |
и |
||||||
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О-Со |
|
1 |
S i t |
4 Ь о ,?п |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I |
C-t |
|
|
|
|
|
|
|
(7 .1 .29) |
|||
п . _ |
Л |
,В<4)2:о S*2 |
U flco + f?,:t ,?i7 |
' |
|
ty.iodi |
|
|
||||||||
L0 |
2 |
V Ct ■* d i Чсо |
\ |
& |
4 Zco ? iz |
|
C { 4 >iCod i / ' |
|
|
|||||||
i = 1,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .1 .30) |
|
Наконец, |
проанализировав (7 .1 .20) |
- |
(7 .1 .2 3 ), |
получаем |
||||||||||||
приближенные |
значения коэффициентов |
CciP) |
в предположении, |
|||||||||||||
что амплитуда волн при малых значениях |
|
9 |
от него |
не |
зави |
|||||||||||
сит: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .1 .31) |
|
где |
|
о _ _ 4 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Mi - |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А - |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .1 .32) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д' = (и -О [(1ц4 2jZ/3)+ £t0(Л 42 JUz)l~
(7 .1 .33)
|
197 |
|
■ lc [ (J i+ 2 /U J + Ь о (Л 3 + Z/U3) J |
( 7 . P . 3 3 ) |
|
72 |
|
|
Q42‘0 |
|
|
a-krjj/Ji+zfiJi) + |
(Аг+2/и2) 1 |
(7;i;34) |
O\o |
|
|
Д ' = [ ( Л +2/WJ + &DU z + Z fi) ] [ ( b + Z jtti+ fa lb .+ 2 //,jI r
- [ t t i + 2 j t i )+ fc0U i i'Zju3)]lU i( +2jt3)+ >iiD (Ь + г/иг)],
r _ p _ ^ _ |
( 7 . 1 . 3 5 ) |
Qf„
Теперь нетрудно записать изображения потенциалов в окон чательном виде, используя (7 ,1 .2 4 ), (7.1,-25), (7.1.28)г и (7 .1 .3 1 ):
Ф о (Х ,Р ) = А |
Fo (Р) |
JQ ioP +а<д) z + |
|
P C P W 1 |
е |
4 а |
Ь (р) |
|
|
|
M ip ( p + r J ) е |
(<1А |
36) |
» |
|
|
|
*■ |
|
|
198
ж |
л |
F JP ) -(QbP+Qtitfz |
+ * n |
FoiPJ |
|
'*°M2P(P + K 9 ) |
(7 .1 .3 7 ) |
|
|
|
|
Обозначим |
|
f |
FtP) |
• |
|
(7 .1 .38)
где — - знак обратного преобразования. Тогда оригиналами искомых функций будут:
Ф ^ з с / ) ^ ^ . А е " j u o C i - t ) e c Н С г - ^ ) d r >
(7 .1 .39'
Фг ( x , i ) s t Z . 4i0 A e ° " ^ x J ' J A t - t ) e r' ^
* W I £ ~ ~ t ) c( t |
i - ^ л . |
(7 .1 . ад) |
UL О |
Н (5 ) - единичная функцияХевисайда. Эти формулы пред ставляют собой точное решение задачи при произвольных во времени внешних воздействий .
199
Как видам, в двухкомпонентном уцругом изотропном полу пространстве при наличии диффузии в данном случае распрост раняются две продольные волны, затухающие по времени- и по мере удаления от поверхности. Для данной среды степень за тухания определяется коэффициентом диффузии ^ .упругими характеристиками компонент и динамическими коэффициентами среды, которые в свою очередь зависят от плотностей компо нент и коэффициента пористости 1C .
Потенциал каадой из волн представляет собой суперпози цию двух составляющих с различными амплитудами, скоростями распространения и различной интенсивностью затухания в за висимости от времени и расстояния от данной точки до возму
щенной поверхности. |
|
|
|
|
|
|
При |
~*о или |
J5z —^>0 |
и |
\) = 0 получаем решение |
||
для однокомпонентного изотропного полупространства. |
||||||
Плоские поперечные волны в полупространстве |
|
|||||
Пусть на поверхность |
х = 0 |
изотропного двухкомпонентно |
||||
го полупространства |
г£ >/0 |
воздействует касательные напря-. |
||||
жения интенсивности |
|
|
|
W {.{) . |
При этом |
|
частицы среды будут испытывать только перемещение в направ
лении оси ^ , которые зависят |
лишь от расстояния данной |
|
точки до граничной поверхности, |
т .е . от X |
. В этом слу |
чае соотношения для деформаций |
приобретают |
вид: |
(7 .2 .1 )
а перемещения выракаются формулами:
) |
(7 .2 .2 ) |
т .е . здесь потенциалы продольных волн равны нулю. Поэтому уравнения двикения приводятся к следующему виду: