ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 1
35
a>*(gi * g^) '-
Рассматриваемые задачи удобно решать в подвижных координа тах
£' = Х -Ш
у' - - ь
где - скорость точки М t которая -образуе*ся в резуль тате пересечения фронта волны с границей £^= 0. Начало подвижной системы координат поместим в точке /у| (рис.2).
Рис.2.
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
Распространение волн |
в полупространстве |
||||||
Граничное условие для подвижной нагрузки |
4 |
(х ' \ |
||||||||
движущейся вдоль границы |
^ |
= 0 по |
оси Ох |
с постоянной |
||||||
скоростью |
0 , |
выберем в |
виде: |
|
|
|
||||
|
|
гЯ = /, ( х - Ш ) |
, |
|
|
|
||||
|
|
V - |
4 z( |
|
|
|
|
|
||
|
|
% = 4 з ( ■ * - № . |
|
|
|
(3 .2 .1) |
||||
Из-за линейности задачи разобьем ее на три: |
|
|
||||||||
Задача |
I . |
При |
г/ = 0 |
|
|
£[x-W=l>, |
|
|||
Задача |
2. |
При |
^ |
= 0 4 (X~Ш)^0/ |
f3(X-tyJ=0, (3 .2 .2 ) |
|||||
Задача |
3 . При |
^ |
= 0 |
|
|
|
4s(x-9>/J^ О. |
|||
Выражения |
4с |
|
|
|
зададим в виде |
сосредоточен |
||||
ной |
S' - |
функции |
(для произвольной |
нагрузки 4 |
) . |
|||||
Решение строится посредством теоремы свертки. Рассмотрим
следующее граничное условие при |
0: |
|
V-=V0 $ (% -% V , 1Г = 1 > о Ш - - № ) , |
(3 .2 .3 ) |
|
6*Ху = 0 . |
|
|
Начальные условия задачи в данной постановке естест венно отсутствуют. Поэтому в этой главе в дальнейшем не буден говорить о начальных условиях. Выберем решение урав нения (3 .1 .2 ) в виде:
оО |
со |
chc) |
|
>1? = & |
|
О ' |
0 |
|
О О |
CWO |
|
lf=jc |
&ivK(z-%tJc/>c) V=j£ а^(М )с (x -M jd к. |
|
0 |
° |
(3 .2 .4 ) |
|
|
|
37 |
|
|
|
|
Подставляя |
(3 .2 .4 ) |
в уравнение |
(3 .1 .2 ), получим |
|
|||
(Ои-ЯЯ? - а » |
+ (Ъ г + а ^ ц В + ш -& Ф )С + р $ Е = о , |
||||||
+ |
|
|
■- & & ) B |
- Q y C -iQ f+ J fflE ^O : |
|||
( Q - S ^ m |
+ f y B + ( R - j>z?%2)C + R<fE. = o ; |
|
|||||
Q q A + ( Q f - +%12%)г)В - у Ц е + U |
t f +jje^ £ = y . |
(3 ,2 -5) |
|||||
Уравнение |
(3 .2 .5 ) |
имеют нетривиальные |
решения, |
если |
|||
удовлетворяет |
следующему уравнению: |
|
|
|
|
||
У»' c f + Уп'г c f -f rn‘ <f +Уп\= О, |
|
(3 .2 .6 ) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
м '^ а ч ч & г Ъ Ч ъ Л - О * ) ; |
|
|
|
||||
К |
|
|
|
( д , Г + |
|
|
|
- a « m - j> a w i + Q « } - 2 & & ) ] - a u t ) R h |
|
|
|||||
+ JЪ Ъ г [ о . Л Ш - я , Я У * & 1 $ г С11] |
■ |
|
|
||||
^ Q ( z j > ^ - Q ) J ~ |
|
(u iz +ow )L(frz +o„v ) ( k ~ & & ) + |
|||||
+ ZQ(& <tf~QJ- ^ |
9)z - ^ М |
чц - |
|
Q7)] - |
|||
& W - ( e - & f f ) ( a „ Q - агг ?/г %7 - & & |
Я )} ■• |
||||||
+ h ft[2 Q p a w (Q : & $ * ) - $ $ № |
+(Q,z +о>,ч)&Л)г Я ] -2 |
||||||
ъ г- о ^ ) [ ( & ^ ~ о ^ ( у ггъ 2Я ' $ г я У - |
|
|
|||||
- (Q-- я * ®l) ( & |
|
- i , 4 » * ; 7 |
j g jW |
- a |
& )] + |
||
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
Значения |
корней уравнения |
(3 .2 .6 ) |
зависят от |
значения |
||||
скорости |
Корни уравнения |
(3 .2 .6 ) |
могут быть |
а) дей |
||||
ствительными; |
б) |
мнимыми; |
в) действительными и мнимыми; |
|||||
г) комплексными; |
д) |
действительными и комплексными; е) мни |
||||||
мыми и комплексными; |
ж) действительными, |
мнимыми |
и комп |
|||||
лексными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая уравнение |
(3 .2 .6 ) и подставляя |
в (3 .2 .4 ),получим |
||||||
решение в общем виде: |
|
|
|
|
|
|||
U= Т_ 7 А е W <3;.и к |
- Ы)Otic; |
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
^ = г Е -J |
|
А |
(Ъ *,)с(х. - Ш ) о Ь с ) |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
3 т |
ph Л е к^ |
Sin к |
(х - 9>i) d )c ; |
|
||||
U |
I I |
|
||||||
3 |
°° |
|
|
|
|
|
|
|
|
JY * Д ъ е 'Щ С м к ( x - % ) i ) d i c f |
(3 .2 .7 ) |
||||||
где |
(r |
|
|
|
|
|
|
|
( Щ * |
! ’ |
(S .2 .8) |
J3"-' f lb . (g , г 1- г f „ ® J \J(QK +at,hQ&lQ(f,-th
|
|
39 |
- (ait |
+йчч)'(Ия*'-@Я*Н1 + |
|
|
U |
% \ t ь - г в * сц $ ) ] ! ■ |
£ = j „ |
[ ( « |
« • * « , <■ |
++ ц \ - в ) ] - f a ® R '
Необходимо |
определить |
неизвестные |
коэффициенты |
А. |
|
Воспользуемся граничными условиями (3 .2 .3 ) . Подставляя |
|||||
(3 .2 .7 ) в (3 .2 .3 ), получим систему уравнений: |
|
||||
<Ж{-fit |
+ d z $ z |
d 2 |
~$о |
г' |
|
~ JT |
|
||||
fcJJi |
|
|
= - f - ; |
|
|
( у , - **) |
( < h -<*>)& |
+ (q 3 -< X s)& = o . |
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
J , = ~ ^ 1 ы ф - O f , |
- |
ф |
-<*’ j ] |
' |
|
Л ~ ~ А 1 |
|
|
'<*з)+& (<li - d i ) ] ' |
|
|
Л -S~ д ; |
($г~°(г) |
~ |
, |