ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 1
45
Применяя теорему свертки и используя выражения, приве денные ранее, можно получить решения для произвольного гра ничного условия.
В самом деле, |
рассмотрим |
задачу при граничных условиях |
||||
|
1Г= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
при у * |
о, |
|
&Ху = 0 |
|
|
|
|
|
где |
^ J |
- |
четная |
функция. |
|
|
Пусть |
корни |
Цу, |
характеристического |
уравнения - дейст |
||
вительные |
числа, |
тогда решения задачи имеют вид: |
|
|||
\ \'М г - Ш ) |
Щ - Ы ) |
1 ( 2 - Ш ) |
]р |
, |
||
|
|
|
- ш |
J t t e |
> |
|
У -Г — |
& А У |
|
. 5з/{зУ- |
1 р, |
V о w + t e - M F f z f n z - M } 1 |
|
* |
||
Если все |
корни Qh ~ l h |
- чисто |
мнимые, то решениями |
|
^ |
Г |
Си |
|
|
будут: |
|
|
|
|
ы=f И |
К У[>1НЧ- &-$*)]- |
у + (X -№ )]} ' |
||
И-{
46
г I L / и Г № и у - ( * - № ) ] - $ [ № - * & - % v I } ;
* н |
7 |
|
Решения для других значений |
получаются подоб |
|
ным путем.
В качестве частного случая рассмотрим следующую задачу
для изотропной среды:
|
|
|
Vo |
|
Ро(Х-ЪЯ\ |
1 |
|
||
|
|
|
F0 + ( x - % i f - |
(3 .2.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л Г |
7а |
РоСОС-Ш)1 |
|
|
|
||
где |
|
|
Я |
- некоторая постоянная. |
|
||||
Тогда коэффициенты уравнения (1 .2 .6 ) должны удовлетворять |
|||||||||
следующим соотношениям: |
|
|
|
|
|||||
|
Qn=-Q2z= J(+2j*> |
|
|
а * г= Л . |
(3 *2Л 8) |
||||
Исследуем |
корни |
уравнения |
(3 .2 .6 ) . Значения |
корней урав |
|||||
нения зависят |
от |
скорости |
Я) |
, плотности агрегата и от |
|||||
Q |
! |
Р . |
|
Предположим, |
что |
выполняются условия |
|||
( 3 .I .I 6 ) . |
Анализируя уравнения (3 .2 .6 ) для изотропной среды, |
||||||||
без особого труда можно получить формулы для определения |
|||||||||
скорости |
волн, возникающие |
в насыщенных жидкостью пористых |
|||||||
средах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
шести |
корней |
уравнения |
(3 .2 .6 ) два корня |
будут рав |
||||
ными нулю для |
трех |
значений |
Я). |
Эти значения |
Я) равны- |
||||
скоростям волн, распространяющимся в насыщенной жидкостью пористой среде:
|
г _ 2 f u Я + & Л Л + гр )- 2 f JZ Q |
|
|
|
||||
|
|
2 ( |
& |
t & |
- & ) |
~ |
|
_ |
|
+ ,& U W ) ? |
-Ф + г/»)& г-вА < 1(£ гО |
|
|
||||
|
|
|
г ( Я * Я г - & ) |
|
|
|
||
|
п . . |
|
. |
|
|
|
(1 .2 .19) |
|
|
‘■3_ А Л г - J?. |
|
|
получить |
формулы для |
определе |
||
|
Аналогичньол путем можно |
|||||||
ния скоростей |
волн в анизотропной среде. |
|
|
|||||
|
Проанализируем полученное выражение (3 .2 .1 9 ). |
При вы |
||||||
полнении условий М.А. |
Био (3 .1 .16) всегда будет справедли |
|||||||
во |
соотновение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с*>сг |
, |
|
Ci>C3 , |
|
|
|
где |
Cj и |
Сг - скорости |
продольной |
волны первого |
и |
|||
|
|
второго |
типа, |
|
|
|
||
|
|
Cs - скорость поперечной волны. |
|
|
||||
|
В зависимости от свойств агрегата |
может быть два |
случая: |
|||||
или |
|
С-г ^ Cj |
|
|
|
|
||
|
С3 |
Сг . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Скорость распространения продольной волны второго типа может быть больше скорости поперечной волны и наоборот. Для
среды, |
рассмотренной в |
работе |
[ 27 _/, выполняются |
следующие |
||||
неравенства: |
п |
ъ г |
|
|
|
|
|
|
Тогда область изменения |
2) разделяется на |
четыре |
интервала. |
|||||
Первый: Я) <* |
- |
дозвуковая область. |
|
|
|
|||
Все |
значения корней |
характеристического |
уравнения |
|
||||
(1 .2 .6 ) |
будут действительными |
или комплексными. |
|
|
||||
Второй: |
сСл - первая |
звуковая |
область. |
|
|
|||
Два корня из |
шести |
корней уравнения |
(3 .2 .6 ) будут |
чисто |
||||
мнимые: , остальные действительные или комплексные. |
|
|
||||||
Третий: Cj<2KC* - |
вторая |
звуковая |
область, четыре |
кор- |
||||
ад
ня уравнения |
(3 .2 .6 ) будут |
мнимые, а |
остальные |
действитель |
|||||||||
ные |
или комплексные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Четвертый: |
Cs <% - |
сверхзвуковая |
область. |
В этом случае все |
||||||||
корни характеристического уравнения будут чисто мнимые. |
|||||||||||||
|
В качестве насыщенной жидкостью пористой среды рассмот |
||||||||||||
рим песок, насыщенный нефтью. Значения |
, |
Q |
и |
И |
|||||||||
следующие: |
J. = 0,4026.10' |
кг/см сек2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
'JUg 0,2493.Ю7 кг/ см сек2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
(2 = 0,0295. Ю7 |
кг/см сек2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R = 0,0672.Ю7 кг/см сек2, |
|
|
|
|||||||
плотности |
& = 0 .8 2 .I0 "8 |
кг/см3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
J>s |
= |
2 .6 0 .I0 -3 |
|
кг/см3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j>2 = |
0 .I9 .I0 " 5 |
кг/см3 . |
|
|
|
|
|
|||
|
Ниже на рисунках приведены численные расчеты изменения |
||||||||||||
смещения при |
j?0 = 0,2 |
и у = 5)q |
в |
зависимости |
от |
х |
|||||||
для |
|
различных значений |
Я) |
( Ф*= 2600 / J |
, |
|
|
||||||
са |
_ |
пппп /- |
м |
|
|
eft |
_ 2200+400* |
_ у— |
|
|
|
||
ч |
- |
°UUU/J |
сёк, |
......... ) |
|
j |
|
сек |
|
|
|
||
h„= |
1000 м, |
|
i |
= I |
сек). |
|
|
|
|
|
|
||
С. увеличением д: смещение и достигает своего макси мального значения, переходит через нуль и достигает второго максимального значения, а потом стремится к нулю (рис.З ).
X'
Тв
Рис.З.
Далее приведено |
изменение |
и~ |
в зависимости |
от сс . |
|
С увеличением X |
смещение |
V- |
достигает экстремального |
||
значения, потом уменьшается до определенного предела, |
затем |
||||
опять резко увеличивается, достигая своего максимума, |
а по |
||||
том плавно уменьш аете стремясь к |
нулю(рис .4 ). |
Эти два максимума |
|||
0 6 |
ю |
п |
.1 |
. |
I ,1 |
» |
я |
he |
|||
|
|
Рис. |
|
|
|
обусловлены прохождением первого и второго типа продольных и поперечных волн. С физической точки зрения этих экстрему
мов должно |
быть три, тан как |
существует три типа волн. |
В |
|||
графиках |
второй и третий экстремумы совпадают |
друг |
с |
дру |
||
гом из-за близости значений |
скорости П-типа продольных и по |
|||||
перечных волн. С увеличением |
“й вертикальные смещения за |
|||||
фронтом первого типа продольных волн увеличивается, а за |
||||||
фронтом второго типа продольных и поперечных волн уменьшает |
||||||
ся. |
|
|
|
U |
|
|
На рис. 5 и 6 приведены изменения смещений |
и |
V |
||||
жидкой компоненты. Графики показывают, что доведение состав |
||||||
ляющих смещения жидкой компоненты почти аналогично, |
но |
зна |
||||
чения U |
всегда |
отрицательны, аЧ ^для скоростей |
|
имеют |
||
тоже отрицательные |
значения'. |
|
|
|
|
|
Изменения &%х} |
и <5 в |
зависимости от St для различ |
||||
ных значении скорости ^'приведены на рис. 7 ,8 ,9 .