ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 1
|
|
|
|
25 |
|
бук~'TDfr(x)Hlt) ') П=0) V-Oj |
(2 .2. 6) |
||||
где H W |
- |
единичная |
функция Хевисайда. |
||
Начальные условия в потенциалах продольных и попереч |
|||||
ных волн приобретают вид: |
% = Рг - Щ = |
% =0) |
|||
м-_1£ = т =& =0 „р и |
U 0 ' |
||||
3f |
д-t ~ d t ~ dt |
|
(2 .2 .7 ) |
||
Граничные |
условия (2 .2 .7 ) |
в потенциалах |
запишутся так: |
||
г ? г % |
Ъ у |
|
|
(2.2.8) |
|
|
|
|
|
||
п _ Ж - л , |
м |
i i - o |
|
||
§J~ |
дх - и ' |
ду |
~ Эх. ~v * |
|
|
где |
|
т/ ~- |
—JU |
|
|
|
|
|
|
||
Задача сводится к интегрированию уравнения (2 .2 .1 ) при граничных условиях (2 .2 .8 ) и начальных условиях (2 .2 .7 ) .
Применим преобразования Лапласа по переменному t к уравнениям (2 .2 .3 ). Тогда системы уравнений в изображениях будут:
^ |
7 * & f <? \7 г |
+J2г |
; |
|
PzCfiz% + £ г%) ; |
|
|
= |
г П |
0-~PZ(ftJ < + f zz% ) , |
(2 .2 .9 ) |
где потенциалы с чертой сверху означают изображения. Применяя преобразование Лапласа к граничным условиям
(2 .2 .8 ), приведем юс к виду:
2 Й |
+ Й . Й . _ |
Т ^ , ГГ* ■ |
||
дхъу |
дУ1 |
9Z* ~ |
|
I о (х) И ' |
|
|
|
|
(2.2.10) |
Зу |
эх " ' |
дх |
и ■ |
|
Решение уравнений (2 .2 .9 ) будем искать в виде:
|
|
|
26 |
|
~ |
/ |
i |
_ СЮ |
|
№ |
* , Р |
) е с yC&iczohc; |
|
(Micxd^c, |
|
0 |
|
0 |
(2 .2 .II) |
где |
Bi[t:i p)>C(k,p); |
E ( K , p ) F ( i ^ p- )неизвестные |
функции, |
||||||||
которые находятся из граничных условий. Подставляя (2 .2 .II) |
|||||||||||
в (2 .2 .9), |
получим уравнения для определения |
^ |
и с /;' |
||||||||
В [Q (f-I)-J z& .]+c [ P { q 4 ) - jiz- t i J =0J |
|
|
(2.2.12) |
||||||||
В [jt(dz-i)% |
|
|
h |
'& E-+JL |
й |
|
|
|
|||
Уравнения (2.2.12) имеют |
нетривиальные решения, если |
||||||||||
ф |
и |
с/ |
удовлетворяют следующему: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2.13) |
|
|
|
|
|
|
/ п”2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С7> |
|
|
|
|
(2.2.14) |
|
|
|
|
|
|
^ 2 j2/ ]CZ |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
; £'= ( X ^ j h ) P - q 4 zj |
|
|||
|
|
|
^ / — |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяя |
|
и |
<я^ |
из (2.2.13) и |
(2.2.14), |
|
|||||
подставляя их в |
(2 .2 .II) |
и используя при |
этом условия |
за |
|||||||
тухания |
волн на |
бесконечности, для^Д ,% ,% |
получим |
выра |
|||||||
жения: |
|
ос |
I— |
т |
|
/ "ГР1' |
|
|
|
|
|
|
|
*<*
|
|
|
|
27 |
|
|
Щj E |
e ^ * |
+ч C&icvcdic; |
» / 4 = / м ,£ ё ^ |
|
||
|
|
|
|
|
|
(2.2.15) |
где |
|
|
YY) |
s£zML |
|
A |
1^9 -_ (?~Jk£L, |
' (to ~ |
|||||
Z77* ~ |
D^о n2 |
и*г |
n- n r* |
A* |
||
|
|
R - J l A |
|
|
|
|
C i, t72 |
- скорости продольных волн |
первого и второго типа, |
||||
аСз - скорость поперечных волн. Эти скорости зависят от
плотности и упругих свойств среды и равны:
г . Г И Е Н * , Г 1 |
С3 = |
Ж " |
|
L i ' Q ' - № - k W 1 |
v ta '- ^ w |
|
С' |
Определим неизвестные |
коэффициенты |
В* ,5? и Е . |
|
Для этого воспользуемся граничными условиями. Подставляя
(2 .2 .15) |
в |
(2 .2 .1 0 ), |
получим |
систему уравнений: |
|
||||||
2B i({i +2Вг<1г + Ecd*-u)=~~ki i B ify |
+B2f i + E |
||||||||||
|
|
|
M i B i t h + K B i f c |
|
+ n o E ^ O . |
|
|
(2.2.16) |
|||
Если |
подставим значения |
|
|
z |
и |
d |
в (2 .2 .1 6 ), |
||||
найдем, |
что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о _ j c . A E ___ |
d |
|
|
|
|
|
|
|||
|
br p l |
■Jc*Wpn |
° ^ P l |
|
П к г+Рг |
|
|
|
|||
где |
Y) |
(ПТг—У7о)Сз Ci |
|
|
(PIt |
о )Cj Cz |
|
||||
|
|
CL |
|
||||||||
|
u i |
- |
jmt - |
|
|
M i |
- |
|
|||
a |
Bi |
, Вг |
и_ |
_£ |
в |
выражения |
(2 .2 .1 5 ), |
получим |
|||
значения |
для |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
00 |
Qt e |
|
|
п |
. |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
+ - г( „ |
_.7 JSinicxcf к:'; |
||||
|
V, -т Н *[■\leiic2iP г |
V cfF + p 5 |
|
||||||||
28
% = T f 4 r- |
_ |
Cos icxdK |
|
|||
|
и |
|
' |
|
- y f a + O |
|
|
oo |
|
Л |
+т к |
||
X |
1J |
|
|
__ !_/,. . |
||
piL fcz )сг+рг' |
|
)jc\ 1сг+рг‘ Jaime#cf r j |
||||
%г т |
J |
^ L ё У,/^ ? |
,CeiKxdx. |
|||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 .2 .1 7 ) |
Переходя к.оригиналу, |
подучим решение задачи в виде: |
|||||
т T^T.JOi^^F, |
7 . , |
|||||
^~^‘>Lpsff-i'oo Jо L |
|
|
+~lCf£?TF^Ji!n)cx^ ' |
|||
|
6-Ho° оо |
r-------jrr—? |
|
|
||
|
OTtO^ , OC7 |
|
|
|||
Щ =Ш J |
"fr /ё?1^ |
|
CottxdKi |
|||
0-iO® о
$+‘6° pf- 9P
w . _T_ T i C I f b r n S ^ . а .т .ё Щ ’К .
2 |
2J i J . |
P |
J |
l |
\/r>7иг+ D2' |
b\K'+P* JWXXQt) |
|
|
Ы *° |
|
с |
■ |
^ |
)C'+p |
|
|
§7ib° -1 Ъо |
/ |
лг7 |
|
|||
|
2 |
Г |
о™ Г - у YlcH-fc |
|
|||
<fc |
ТивСгч |
|
“е " ? -s |
Ceiicxchc. |
|||
ZTi 6-ioo |
|
|
|||||
(2.2.18)
Квадратуры в (2 .2 .18) вычисляются в элементарных функ циях.
При вычислении получим окончательные выражения для продольного и поперечного потенциалов:
|
|
|
у]яг.+уг |
-I |
|
||
o z[cziVcjfec*-#*' р C U v E E S T i |
|
(2 .2 .19) |
|||||
\ |
С |
,■ |
|||||
Сг [ |
+ ^ |
^ |
т/г^+^г' J , с |
||||
, ОгПЬ
C* [ х^-ьуг
ф -ы ! [£ к Ш
n ~ z (
29 |
|
|
c d |
W |
c ^ - x 7^ , |
' л f,A t£*fey«'. |
c X f ^ x H y 1) (2 . 2 . 20) |
|
Ш (/jc^f^T* |
J |
|
' W J J (2 .2.21)
1 .х Ч--c^ic‘iLx-fd i |
(2 .2 .22) |
|
3 |
v x * + t/z J • |
|
Подставляя (2 .2 .19) - (2.2.22) в (2 .2 .4 ), получим вы ражения для определения напряжений.
При произвольной нагрузке &х.у- р е ш е н и е нетруд но получить посредством интеграла Дюамеля.
Обобщим предыдущую задачу для слоя постоянной толщины. Рассмотрим задачу о распространении и отражении волн,
вызванных импульсом сдвига, приложенным к границе двухком понентного слоя.
Систему декартовых координат выберем как указано на рис. I . Вначале рассмотрим случай, когда граничные усло вия имеют вид:
Рис.1.