Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 191

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где EFK—-сумма всех сил, действующих на точку. Спроектируем векторное равенство (86) на касательную

к траектории движения точки (рис. 30а), получим:

mwx = Е F)CT.

(87)

Представим w- в виде:

dv _dv_ _dS^ dv_

= ~dF = "dS- ' “dT = dS ' v •

Тогда выражение (87) запишется так: dv

v = S F ^ '

В полученном выражении разделим переменные:

.

mvdv = Е Fk- • dS .

Введем произведение mv в левой части этого уравнения под знак дифференциала, получим

 

 

/

mv2

\

Е dA,{ ,

„ ,

 

 

d (

2

) =

(88)

где

mv2

= Т — кинетическая энергия

точки;

 

2

 

 

 

 

 

'

EdAk — сумма

элементарных

работ всех сил,

Равенство

приложенных к точке.

об и з м е н е н и и

(88) выражает

т е о р е м у

к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и т о ч к и в д и ф ф е р е н ц и ­ а л ь н о й ф о р м е.

Найдем изменение кинетической энергии точки при конеч­ ном перемещении точки из положения М0 в положение Mt (рис. 306).

Проинтегрировав обе части равенства (88) в пределах, со­ ответствующих начальному М0 и конечному М| положениям точки, получим:

vi

1

и

 

V o

V

Отсюда

m v ? \

2

1

=EdA к •

О

m v i 2

m v

n 2

(89)

2

— 2

" S Ab

точки;

V] — скорость точки в конечном ее положении Мь

•58

 

v0 — скорость точки в начальном

ее

положении

М0;

SA„ — сумма работ всех сил, действующих на точку, на

 

перемещении точки M0Mi.

 

 

измене­

Выражение (89) представляет собой теорему об

нии

кинетической энергии точки в конечной форме:

т о ч к и

и з м е н е н и е к и н е т и ч е с к о й

э н е р г и и

при

н е к о т о р о м п е р е м е щ е н и и

точкой

р а в н о

с у м м е р а б о т на т о м же п е р е м е щ е н и и в с е х д е й ­

с т в у ю щ и х

на

т о ч к у

сил.

 

§

12.

Принцип Даламбера для точки

Пусть на точку М массой ш действуют силы Fb F2, F3, вы­

зывающие ускорение w точки

(рис.

31). Движение точки бу­

дет происходить согласно основному закону динамики:

 

 

mw = 2F.

(90)

Обозначим

 

(91)

Ф= —mw

 

и назовем Ф — силой инерции точки.

вектор Ф,

равный

Силой инерции точки будем называть

по величине произведению массы m точки

на ускорение w

точки и направленный в сторону, противоположную

ускоре­

нию точки (см. рис. 31).

 

 

Подставив (91) в (90), получим

 

 

ЕР+Ф = 0.

 

(92)

Из выражения (92) следует: движущуюся точку

можно

в любой момент времени мысленно остановить и рассматри­ вать как находящуюся в равновесии, если ко всем силам (EF), действующим на точку в данный момент времени, до­ бавить силу инерции (Ф), которую имеет точка в этот мо­ мент.

59

В этом и состоит принцип Даламбера для точки.

Для данных на рис. 31 будем иметь:

,

В1+ В г + 1:'зН_Ф:=0-

 

§13. Решение задач на динамику точки

спомощью общих теорем и принципа Даламбера

При решении задач на динамику точки следует помнить:

1)общие теоремы динамики точки и принцип Даламбера для точки справедливы только для абсолютного движения точки;

2)несвободную движущуюся точку (связанную с какими-

либо телами или другими точками) рассматривают как сво­ бодную движущуюся точку, освободив ее от связей и заме­ нив действие связей на точку реакциями связей.

При решении задач на динамику точки следует применять ту теорему, которая дает наиболее простое и быстрое реше­ ние.

П р и м е р 1. Кольцо М весом Р = 10 н скользит без тре­ ния по окружности радиуса R=1 м, расположенной в верти­ кальной плоскости. В начальный момент радиус-вектор ОМ0

кольца составляет с вертикалью угол фо = 30°, а

начальная

скорость кольца равна \’о = 3 м/сек.

Определить

скорость и

ускорение кольца в точке М, когда

ZM0OM= a=90°, а также

импульс действующих сил за время поворота радиуса-векто­

ра кольца на угол а

(рис. 32а).

Ре ше н и е . Точка

(кольцо) М является несвободной точ­

кой. Освободим точку

М

от связи-окружности и заменим

действие окружности

на

точку реакцией N.

Тогда точка М станет свободной.

На свободную точку М при ее движении из положения М0 в положение М будут действовать две силы: Р и N.

Для определения скорости точки (кольца) в положении М воспользуемся теоремой об изменении кинетической энер­ гии точки:

mv2

mv02

 

—

-

(а|)

где v — скорость точки в положении М;

 

Vo — скорость точки в положении М0;

>ку в те­

2А — сумма работ всех сил, действующи.. ■

чение всего времени движения точки из положения М0 в положение М.

60

Определим сумму работ всех сил (Р и N), действующих на точку:

EA =A p + A n, (б)

где Ар — работа силы Р на перемещении МоМ;

An — работа силы N на том же перемещении М0М. Работа .веса Р точки, на перемещении МоМ будет равна:

Ap = Ph (см. рис. 32а).

При перемещении точки из положения М0 в положение М

сила N во все время этого перемещения остается

перпенди­

кулярной направлению своего перемещения (рис.

32а).

Поэтому

 

An = 0.

 

Итак,

 

2A = Ph.

(в)

Подставив (в) в (а), получим

 

-|-(v2 - Vo2) = Ph

 

или

 

v2 — Vo2 = 2gh .

 

61

Отсюда

v = -|/2gh+v02,

где (см. рис. 32)

h=M 0K+ML = R sin 60°+Р sin30°=JR (0,37+0,5) = 1,37 м.

Значение скорости точки в положении М будеттаково: v = l/2-9,8-l,37+32 = 6 м/сек.

Определим импульс сил, действующих на точку, за время перемещения точки из положения М0 в положение М. Для этого воспользуемся теоремой об изменении количества дви­ жения точки (в координатной форме):

| mvx—mvox= Sx,

{mvy—m v0y = Sy.

Из рис. 32а имеем: vx= —v sin 30°, vy= —v cos 30°, Vox=v0 sin 60°,

v0y = —v cos 60°.

Тогда

P

Sx = m(vx — vox) = - —(— vsin 30° —,v0 sin 60 ) =

&

10

0,5 — 3 • 0,87) = — 5,7

н ■ сек ;

 

= -^-g (— 6 •

 

 

P

[ - v cos 30° - ( — v0 cos 60^)] =

Sy = m(vy — voy) = —

10

 

3 • 0,5) = - 3,8 н ■ сек.

 

= g-g(— 6 • 0,87 +

 

Полный импульс

сил,

действующих

на точку,

равен

(рис. 326):

 

 

t

 

S= ySx2+Sy2 = y(—5,7)2+ ( —3,8)2=6,85 н-сек.

 

Определим ускорение точки в положении М (см. рис.

32а):

 

W = wn -f- W- ,

 

 

где wn — нормальное ускорение точки; wT— касательное ускорение точки.

62

Смотрите также файлы