Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,49Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 189

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Нормальное ускорение точки М равно:

Найдем касательное ускорение wT точки М, воспользо вавшись теоремой об изменении момента количества движе ния точки:

где L0 — момент количества движения точки М относи тельно центра О;

БМо(Рл) — сумма моментов всех сил (Р и N), действую щих на точку М, относительно центра О.

Как видно из рис. 32а:

L0 = mvR,

2М0 (FK) = Р • OL = Р • R c o s 30°.

Тогда

—^ (mvR) — PR cos 30

mR = PR cos 30° .

Так как

то

mRw, = PR cos 30°,

откуда

сек2

Полное ускорение точки М будет равно:

w = V wn2 + w,* = 1/362 + 8,522 = 37 сек2

. Пример 2. Груз весом Р = 9,8 н, подвешенный к концу В пружины АВ, может двигаться без трения в направляющих, наклоненных под углом а=30° к горизонту. Конец А пружи ны закреплен неподвижно на расстоянии АО = 0,4 м от на правляющих. В начальный момент груз находился в точке О

и имел скорость Vo = 2 м/сек,	направленную вниз. Длина не-
<деформированной пружины	равна /= 0,4 м, а коэффициент

жесткости ее равен с= 120 н/м. Определить скорость груза в точке В, если OB = S = 0,3 м (рис. 33).

Рис. 33

Ре ше н и е . Освобождаем несвободную точку В от связей (направляющих и пружины) и заменяем их действие на точ ку реакциями связей N и FB. Получаем свободную точку В, на которую действуют силы Р, N и FB.

Для нахождения скорости точки В применим теорему об изменении кинетической энергии точки:

mvB2	mvo2	(а)
2 —	2 = 2 А ,	(а)

где vb — скорость точки В в положении В; vo — скорость точки В в положении О;

2А — сумма работ всех сил (Р, N, FB), действующих на точку, на перемещении ОВ точки.

Определим сумму работ сил Р, N, FB на перемещении ОВ:

2A = Ap + A n+ A f b ,

где Ар— работа силы Р на перемещении ОВ; An — работа силы N на перемещении ОВ;

Арв — работа восстанавливающей силы FB пружины на перемещении ОВ.

Работа силы веса Р точки на перемещении ОВ равна: AP= Ph = P-S-sin 30°= 9,8-0,5-0,3=1,47 н-м.

Сила N (реакция направляющих) направлена во все вре мя движения точки из положения О в положение В перпен дикулярно направлению своего движения. Поэтому

An = 0.

При перемещении точки В из положения О в положение В пружина из положения АО перейдет в положение АВ, то есть растянется на величину А/.

Д/=АВ—АО.

Из А ОАВ имеем:

АВ = -|/А02+ В 0 2 = -|/0,42+0,32 = 0,5 м.

Тогда

		А/=0,5—0,4 = 0,1 м.
	Работа упругой	силы пружины	FB определяется	выраже
нием (85):
где	х0 = 0 — удлинение пружины в		начальном ее положении
	АО;
	Xi = А/ — удлинение пружины в конечном ее положении АВ.
	Найдем ApB.s
.	с	с	120	0,6 нм.
AFb = " 2“(0 2 — А /2) = — ~2~ А /2			= - ~ y • 0,1я = -	0,6 нм.

Найдем 2А:

У. А = Ар •-)- An -f- Арв = 1,47 — 0,6 = 0,87 хнм.

Подставив значение 2 А = 0,87 нм в выражение (а), полу чим:

~Y(Vb2 - V0a) = 0,87 .

5 Заказ 249

Отсюда					м
	0,87		,	/ 2 • 0,87 ■H,S	м
v B	m	+ v02	V	y,8	22 = 2,4 сек '

П р и м е р 3. Треугольная .призма ABD перемещается по неподвижной горизонтальной плоскости с заданным ускоре нием w1=200 см/сек2. По боковой грани АВ призмы переме щается в направлении от А к В груз М весом Р = 160 н. Ко эффициент трения груза о наклонную плоскость равен f= 0,2. Определить ускорение груза по отношению к призме и нор мальную реакцию наклонной плоскости (грани АВ, см. рис. 34 а).

б)

Ре ше н и е . Точка (груз) М совершает абсолютное дви жение, состоящее из относительного движения (движения точки по грани АВ призмы) с ускорением wr и переносного движения (движения точки вместе с призмой по горизон тальной плоскости) с ускорением wb

Освободим точку М от связи (шероховатой грани АВ) и действие грани АВ на точку-заменим нормальной реакцией N и силой трения Fxp (рис. 34а).

Тогда на свободную движущуюся точку М, имеющую в рассматриваемый момент времени ускорения wr и wb будут действовать силы Р, FTp и N (рис. 34 а).

Мысленно остановим точку М (на основании принципа Даламбера), приложив к ней силы инерции Фг и Фь направ ленные противоположно ускорениям wr и wi точки (рис. 34 а).

6 6

Величина силы инерции		Фь
	. Р	Wi =	160		32,6 н.
Ф] = fflWi =		Wi =	у у ■2 =		32,6 н.
Рассмотрим	равновесие	точки	М	под	действием сил Рг
Ftp, N, Ф, и Фг	(рис. 346).

Так как все силы, действующие на точку М, сходятся в одной точке, то условия равновесия точки будут таковы:

			'(	2 Fkx= 0,
			I	SFky = 0.
Распишем эти условия для данных задачи (рис.										34 6):
vpkx = N—Ф, cos60°—Р cos30°=0,											(а)
SFky = O r+FTp + Ф 1sin 60°—Р sin 30°= 0.											• (б)
Мз выражения (а) найдем нормальную реакцию											наклон
ной плоскости АВ:
N= Ф1cos 60°+Р cos 30°= 32,6 • 0,5+160 • 0,87 =155											н.
Из выражения		(б)	найдем силу инерции Фг точки:
	ФГ= Р sin 30° —Ф1sin 60°—FTp.										(в)
Учитывая,	что FTP=fN = 0,2-155=31							н, и подставив значе
ние FTp в выражение			(в),	получим:
	Фг=160-0,5—32,6-0,87—31=21 н.
Так как				Фг= mwr,
то отсюда
	Ф г		Фг -	g	'21	•	9,8		м

wr =	щ	=	Р	= '		160		~ ^ ’^сек 2		■
П р и м е р	4.	Вагонетка			весом		Р = 4000 н скатывается
вниз с высоты h =.8 м без начальной							скорости		по	рельсам,
проложенным по криволинейному пути DB и далее по кру
говому кольцу радиусом R =2					м.	Определить			скорость ваго

нетки и реакцию кольцевой опоры в тот момент, когда ваго нетка находится в точке С, если ИВОС=<р=60°. Сопротивле

нием движению пренебречь	(рис. 35а).
Р е ш е н и е . Представим	вагонетку М в виде материаль-

ной точки и определим скорость ее в положении С, применив теорему об изменении кинетической энергии точки:

mvc2 mv2D		>	(а)
—2	=	2 А>	(а)
где vc — скорость вагонетки	в положении С (см.		рис. 35а);
vd= 0 — скорость вагонетки	в	начальном ее	положении
(см. рис. 35а);
ЕА — сумма работ всех сил,		действующих на вагонетку
М, при перемещении ее из положения D в положе
ние С.
На участке DC движения	вагонетки 'работу		производит

сила Р (вес вагонетки). Работа реакции опоры N, направлен ной во все время движения вагонетки перпендикулярно пере мещению вагонетки, равна нулю.

Поэтому

2A =Phi,

где hi -у- вертикальное смещение вагонетки. Как видно из рис. 35а:

hi= h —BK = h— (OB—OK) = h— (R—R cos 60°) =

. .......	= 8— (2—2-0,5) =7 m .
Тогда	2 A = 4000-7=28-103 нм.
	2 A = 4000-7=28-103 нм.

	Подставив значения v d =	0 и 2А = 28-103 н м	в выражение
(а), получим:			. j
	mvc2	28 • 10s .
	2	28 • 10s .
	2
	Отсюда
	2 • 28 • l03g	2 • 28 ■Ю3 • 9,8	м
vc	P	4 • 103	11,7 сек

Для нахождения реакции опоры вагонетки в точке С при меним принцип Даламбера: мысленно остановим вагонетку, приложив к ней силы *инерции Фп и Фт, направленные в стороны, противоположные нормальному wn и касательному W- ускорениям вагонетки.

Величина силы инерции Фп будет равна:

Vc2	Р	vc2	4 • Ю3 • 11,7	= 28 • Ю3 :k
ф п = mwn = m-	g	‘ R =	9, 8 - 2

Рассмотрим равновесие		вагонетки, находящейся в			точке
С под действием сил Р, N, Фп и Фт			, сходящихся в одной точ?
ке (рис. 356).				;	'
Условия равновесия:
f 2Fta = 0,			*
1	2Fky=0.
Для нахождения значения реакции N достаточно					соста
вить одно условие (рис. 35 б ):