Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Если в начальный момент времени центр масс системы в направлении оси х не перемещался (vcx = 0), то, учитывая,

cdx

что vcx= — , получим:

т. е. центр масс системы в направлении оси х перемещаться не будет.

Если в направлении оси х центр масс механической систе­ мы, состоящей из группы тел, не перемещается, то это еще ' не означает, что не будет движений тел в системе. Тела в си­

стеме могут перемещаться, но эти перемещения будут проис­ ходить по определенным закономерностям.

Найдем закон перемещений тел в системе, центр масс ко­ торой во время движений этих тел не перемещается в направ­ лении оси х.

Координату хс центра масс механической системы, состо­ ящей из к количества тел, определим по формуле:

mxc= 2 mkxk.

Тогда в момент времени К

mxic = Smkxlk,

а в момент времени t2

mx2C = Smkx2k.

87

Вычтем из в горою уравнения первое, получим:

1ПХ2 С— m xic=S m k X 2k— SmkXik.

Так как перемещения центра масс системы в направлении оси х не будет, то в любой .момент времени

X2 C = Xic = ICOnst

Поэтому

ла в направлении оси х.

Уравнение (127) определяет закон перемещений тел в си­ стеме, центр масс которой не перемещается в направлении

ОСИ X.

Равенства (123), (124), (125), (126) и (127) выражают собой в разных формах закон сохранения движения центра масс механической системы.

§ 23. Решение задач на определение движения центра масс механической системы

Пользуясь теоремой о движении центра масс, можно, зная внешнее силы, действующие на механическую систему, най­ ти закон движения центра масс системы и, наоборот, зная движение центра масс системы, определить главный вектор действующих на систему внешних сил.

Закон сохранения движения центра масс системы позво­ ляет находить перемещения одних тел в системе в зависимо­ сти от перемещений других тел системы.

П р и м е р 1. Призма ABCD весом Q = ISO н лежит на гладкой горизонтальной плоскости. На боковых гранях приз­ мы, образующих с горизонталью углы а=60°, |3 = 30° и у = 90°, расположены три груза, соединенные между собой нерастя­ жимой нитью, веса которых равны соответственно Pi = 160 н; Рг=140 к; Р3 = 70 н. В начальный момент система неподвиж­ на. Определить перемещение призмы относительно неподвиж­ ной плоскости, если каждый груз переместится по соответст­

88

вующей грани на расстояние h = 1 м и груз Pi опустится при этом вниз (см. рис. 53).

. Р е ше н и е . Данная механическая система состоит из че­ тырех движущихся тел: призмы ABCD и трех грузов. На эту систему действуют силы: Q, Рь Р2, Р3, R, которые, как видно из рис. 53, расположены перпендикулярно оси х. Следова­ тельно, в направлении оси х перемещения центра масс меха­ нической системы не будет, движения тел в системе произой­ дут согласно зависимости

Распишем зависимость (а) для данных задачи:

Абсолютное перемещение призмы ABCD обозначим Ах и' будем считать, что движение призмы совпадает с положитель­ ным направлением оси х (рис. 53).

Движение груза ■1 будет сложным, состоящим из относи­ тельного движения (движения груза по призме) и переносно­ го движения (движения груза вместе с призмой по горизон­ тальной плоскости).

89-

груза по призме) в направлении оси х. Из рис. 53 имеем:

P(h cos 60° + P2h cos 30°

кой А, расположенной на другом конце платформы. Радиус барабана лебедки равен г= 0,1 м. Барабан вращается с по­ стоянным угловым ускорением е= 5 сек~2, причем его началь­ ная угловая скорость соо равна нулю. Вес платформы вместе

90,

с лебедкой равен Q = 25-104 н. Определить, пренебрегая тре­ нием, величину перемещения платформы через t= 8 сек по­ сле начала движения груза (рис. 54).

Ре ше н и е . Данная механическая система состоит из двух движущихся тел: платформы с лебедкой весом Q и гру­ за М весом Р.

Силы, действующие на систему (Q, Р и R), расположены перпендикулярно оси х. Поэтому в направлении оси х пере­ мещения центра масс системы не будет. Движения тел в си­ стеме произойдут согласно зависимости:

в направлении оси х.

Абсолютное перемещение платформы обозначим Ах и бу­ дем считать, что движение платформы совпадает с положи­ тельным направлением оси х.

Движение груза М будет движением сложным, состоящим из относительного движения (движения груза по платформе)

где Axi — относительное перемещение груза (перемещение груза по платформе).

91

Найдем Дхь

Таким образом, при движении груза М по платформе в течение t = 8 сек вправо сама платформа переместится влево на 1,18 м.

Г л а в а VI. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§24. Количество движения твердого тела

имеханической системы

Пусть какое-либо твердое тело перемещается в простран­

суммируя векторы количеств движения всех точек, составля­

92

Рис. 55

Возьмем производную по 'времени от обеих частей этого равенства, получим:

т. е. вектор количества движения твердого тела равен произ­ ведению массы тела на скорость центра масс этого тела и на­ правлен по направлению скорости центра масс тела.

По формуле (130) определяется и количество движения механической системы, состоящей из группы тел.

§ 25. Теорема об изменении количества движения твердого тела и механической системы

Для любого движущегося твердого тела или механической ■системы уравнение движения имеет вид:

mwc = У F .

Отсюда, считая массу тела величиной постоянной, можно записать:

93

или

Выражение (131) представляет собой теорему об измене­ нии количества движения твердого тела (системы): произ­ водная по времени от количества движения тела (системы) равна сумме всех внешних сил, действующих на тело (систе­ му).

Спроектировав векторное равенство (131) на оси коорди­ нат, получим:

где Kx; Kvi Kz— проекции количества движения тела (си­ стемы) на оси х, у, z;

2FX; SFy; 2FZ— сумма проекций на оси х, у, г всех внеш­

§ 26. Закон сохранения количества движения механической системы

а) Если сумма всех внешних сил, действующих на меха­ ническую систему, равна нулю, то вектор количества дви­ жения системы будет во все время движения оставаться по-' стоянным по модулю и направлению.

В этом нетрудно убедиться, .рассматривая зависимость

(131):

i - W ’ S F .

94