Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 3
Так как 2F = 0, то
БГ(к>= о-
Отоюда
K = mvc = const. |
(133) |
б) Если сумма проекций всех внешних сил, приложенных к механической системе, на какую-либо ось х равна нулю, то проекция количества движения этой системы на ось х во все время движения системы остается величиной постоянной
(Kx='Const) (рис. 56).
Я
|
л |
Рис. 56 |
|
Это следует из рассмотрения уравнений |
(132): |
-5Г(Кх) = 2 Fx . |
|
Так как EFx = 0, то - |
|
Ж (Кх) = 0 • |
|
Отсюда |
|
Kx= mvcx "const. |
(134) |
Найдем закон движения тел в системе в случае, когда проекция количества движения системы на ось х остается ве личиной постоянной во все время движения системы.
95
Для механической системы, состоящей из К количества тел, будем иметь (см. формулу (129):
2mkVk= mvc.
Проекция на ось х этого равенства запишется в виде
|
.2mkVkx= mvcx. |
|
(135) |
Подставив выражение (135) в (134), |
получим: |
|
|
|
2mkVkx= const, |
|
(136) |
где riik — масса k-го тела системы; |
|
центра |
|
Vkx — проекция |
на ось х абсолютной скорости |
||
масс k-го тела системы. |
|
в систе |
|
Уравнение (136) |
определяет закон движения тел |
||
ме, когда проекция |
на ось х количества |
движения |
системы |
остается величиной постоянной во все время движения систе мы.
Равенства (133), (134) и (136) выражают собой в разных формах закон сохранения количества движения механической системы.
§27. Решение задач динамики системы с помощью теоремы об изменении количества движения системы
П р и м е р |
1. На салазках помещены два |
барабана, |
при |
|
чем на барабан А намотан |
стальной трос весом G=1000 н. |
|||
Вес погонного |
метра троса |
равен р = 30 н/м. |
Расстояние |
ме |
жду осями барабанов равно 1=2 м, а радиус каждого бараба на равен г= 0,2 м. В- начальный момент система находилась в покое, затем трос стали перематывать с барабана А, вра щая барабан В с постоянным угловым ускорением е= 5 сект2. Определить скорость салазок через t= 10 сек после начала перемотки. Трением, а также толщиной наматываемого слоя троса пренебречь (рис. 57).
Р е ше н и е . Данная механическая система состоит из двух движущихся в направлении оси х тел: салазок и участ ка троса АВ. На систему действуют внешние силы Q, G и R,' расположенные перпендикулярно оои х. Поэтому проекция вектора количества движения данной системы на ось х во все время движения системы остается величиной постоянной, а движения тел в системе происходят согласно зависимости:
2mkVkx=const. (а)
•96
Так как в начальный момент времени система была в по кое, то количество движения ее в этот момент равно нулю.
В любой другой момент времени будем |
иметь |
[согласно |
|||
выражению (а)]: |
2 mkvkx= 0. |
|
|
(б) |
|
|
|
|
|||
Распишем зависимость (б) для данных задачи: |
|
|
|||
|
miVixa+m2V2xa= 0, |
|
|
(в) |
|
где mi— массаучастка |
троса АВ; |
без участка АВ; |
|
|
|
т 2— масса салазок и троса |
АВ |
через |
|||
Vixa— абсолютная |
скорость движения |
троса |
|||
t= 10 сек после начала движения системы; |
через |
||||
v2xa — абсолютная |
скорость |
движения |
салазок |
||
1=10 сек после начала движения системы. |
|
||||
Обозначим |
v2xa~v. |
|
|
(г) |
|
|
|
|
Трос АВ совершает сложное движение, состоящее из от носительного движения (движения троса относительно сала зок со скоростью Vi) и переносного движения (движения тро са вместе с салазками по неподвижной горизонтальной плос кости со скоростью v).
Абсолютная скорость троса АВ в направлении оси х рав
на:
Vixa = V— V].
Найдем Vi (по законам кинематики) через t= 10 сек |
по |
сле начала движения системы (вращения шкива В): |
|
Vi = cor= (et) - г= 5 -Т0 - 0,2 =10 м/сек. |
|
Тогда |
|
Vlxa = V— 10. |
(д) |
7 Заказ 249 |
97 |
|
С учетом (г) и (д) выражение (в) примет вид: mi (v—10) + m 2v = 0
или так как |
|
р • 1 |
30- 2 |
60 |
|
|
|
|
{кг) , |
||||
|
ш, ~ g — g “ g |
|||||
Q + G |
ш, - |
3000 + 1000 |
- |
60 |
3940 |
|
g |
- |
о- |
g |
{кг), |
||
|
|
ь |
|
g |
||
|
60 |
(v - |
3940 |
= |
0 . |
|
|
— |
10) - | - - 7 - v |
|
|||
|
& |
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
6010 |
_ |
м |
|
|
|
V = |
L0-|-Oi/40 ~ |
|
С с К |
' |
Таким образом, через 1=10 сек после начала перемотки троса влево с барабана А на барабан В салазки будут пе ремещаться вправо со скоростью v = 0,15 м/сек.
Г л а в а VII. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§28. Момент количества движения твердого тела
имеханической системы
А'1о м е и т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т в е р д о г о те ла, ■с о в е р ш а ю.щ е г о п р о и з в о л ь н о е д в и ж е н и е .
Моментом количества движения какой-либо движущейся точки к относительно некоторого центра О (как известно из динамики точки) называется ‘произведение количества дви
жения этой точки (mkVk) на длину перпендикуляра, |
опущен |
ного из центра О на направление mkVk (рис. 58): |
|
Lko==mkVkhk- |
(137) |
Момент количества движения точки можно представить и в виде вектора Lko, равного по величине Lko и направленного перпендикулярно плоскости, в которой лежит вектор mkVk и
98
Рис. 58
-точка О (аналогично тому, как в .статике момент силы отно сительно точки представляется в виде вектора-.момента).
Для твердого тела вектор момента количества движения Lo относительно .какого-либо центра О можно определить, сложив векторы моментов количеств движения относительно того же центра О всех точек, составляющих' данное тело:
L0= 2 L ko. |
. (138) |
Спроектировав векторное 'равенство (138) на осй коЬрд'и- нат, получим выражения для определения 'моментов количе
ства движения тела относительно осей координат: |
|
Lx—2 Lkx, |
|
Ly= 2Lky, |
(139) |
Lz = 2Lkz, |
|
где Lx; Ly; Lz — моменты количества |
движения 'твердого |
тела относительно осей координат; |
2Lkx; 2 Lky; 2Lkz — суммы моментов количеств движения
•всех точек тела относительно, осе» коор динат.
Выражения (139) показывают, что момент количества дви жения твердого тела относительно .какой-либо :бси - равен алгебраической сумме .моментов количеств движения отно сительно той же оси всех точек, составляющих тело. Момен ты количеств движения всех точек тела относительно любой оси раположены в плоскости, 'перпендикулярной "этой оси и определяются по формуле (64). к >
Вектор момента количества движения тела относительно какой-либо оси будет направлен вдоль данной оси (рис. 59).
t.9&
Рис. 59
. Зная момент количества движения тела относительно ка кого-либо центра О, можно найти моменты количества дви жения тела относительно любых, трех взаимно перпендику лярных осей, проходящих через данный центр О:
Lo=LH-Ly+Lz. (140)
Мо м е н т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т в е р д о г о т е л а , с о в е р ш а ю щ е г о в р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е
Пусть какое-либо тело совершает вращательное движение относительно оси z (рис. 60).
Тогда момент количества движения данного тела относи тельно, оси г будет равен:
|
|
Lz= 2 Lkz= 2 micVkhk. |
(141) |
Замечая, |
что |
|
|
• |
' |
Vk=cohk> |
|
где ; |
, |
|
|
о — угловая скорость вращения тела (величина, одинако вая для всех точек вращающегося тела), '
получим:
Lz = 2mk(cohk)hk=a>2mkhk2.
160
Рис. 60
Учитывая, что Hrrikhk2 представляет собой момент инерции данного тела относительно оси z, окончательно будем иметь
Lz= J zco. |
(142) |
Таким образом, момент количества движения твердого те ла, вращающегося вокруг оси г, равен произведению момента инерции данного тела относительно оси г на угловую ско рость вращения тела.
Мо м е н т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я м е х а н и ч е с к о й с и с т е м ы
Для механической системы, состоящей из группы тел, мо мент количества движения относительно какого-либо центра (оси) будет слагаться из моментов количеств движения отно сительно этого центра (оси) всех тел, входящих в -систему:
Lo = 2Lko, |
(143а) |
Lz=2Lkz. |
(1436) |
Бели механическая система, состоящая из нескольких тел, вращается вокруг какой-либо оси z, то момент ' количества
101