Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 197

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Так как 2F = 0, то

БГ(к>= о-

Отоюда

K = mvc = const.

(133)

б) Если сумма проекций всех внешних сил, приложенных к механической системе, на какую-либо ось х равна нулю, то проекция количества движения этой системы на ось х во все время движения системы остается величиной постоянной

(Kx='Const) (рис. 56).

Я

 

л

Рис. 56

 

Это следует из рассмотрения уравнений

(132):

-5Г(Кх) = 2 Fx .

 

Так как EFx = 0, то -

 

Ж (Кх) = 0 •

 

Отсюда

 

Kx= mvcx "const.

(134)

Найдем закон движения тел в системе в случае, когда проекция количества движения системы на ось х остается ве­ личиной постоянной во все время движения системы.

95

Для механической системы, состоящей из К количества тел, будем иметь (см. формулу (129):

2mkVk= mvc.

Проекция на ось х этого равенства запишется в виде

 

.2mkVkx= mvcx.

 

(135)

Подставив выражение (135) в (134),

получим:

 

 

2mkVkx= const,

 

(136)

где riik — масса k-го тела системы;

 

центра

Vkx — проекция

на ось х абсолютной скорости

масс k-го тела системы.

 

в систе­

Уравнение (136)

определяет закон движения тел

ме, когда проекция

на ось х количества

движения

системы

остается величиной постоянной во все время движения систе­ мы.

Равенства (133), (134) и (136) выражают собой в разных формах закон сохранения количества движения механической системы.

§27. Решение задач динамики системы с помощью теоремы об изменении количества движения системы

П р и м е р

1. На салазках помещены два

барабана,

при­

чем на барабан А намотан

стальной трос весом G=1000 н.

Вес погонного

метра троса

равен р = 30 н/м.

Расстояние

ме­

жду осями барабанов равно 1=2 м, а радиус каждого бараба­ на равен г= 0,2 м. В- начальный момент система находилась в покое, затем трос стали перематывать с барабана А, вра­ щая барабан В с постоянным угловым ускорением е= 5 сект2. Определить скорость салазок через t= 10 сек после начала перемотки. Трением, а также толщиной наматываемого слоя троса пренебречь (рис. 57).

Р е ше н и е . Данная механическая система состоит из двух движущихся в направлении оси х тел: салазок и участ­ ка троса АВ. На систему действуют внешние силы Q, G и R,' расположенные перпендикулярно оои х. Поэтому проекция вектора количества движения данной системы на ось х во все время движения системы остается величиной постоянной, а движения тел в системе происходят согласно зависимости:

2mkVkx=const. (а)

•96


Так как в начальный момент времени система была в по­ кое, то количество движения ее в этот момент равно нулю.

В любой другой момент времени будем

иметь

[согласно

выражению (а)]:

2 mkvkx= 0.

 

 

(б)

 

 

 

Распишем зависимость (б) для данных задачи:

 

 

 

miVixa+m2V2xa= 0,

 

 

(в)

где mi— массаучастка

троса АВ;

без участка АВ;

 

 

т 2— масса салазок и троса

АВ

через

Vixa— абсолютная

скорость движения

троса

t= 10 сек после начала движения системы;

через

v2xa — абсолютная

скорость

движения

салазок

1=10 сек после начала движения системы.

 

Обозначим

v2xa~v.

 

 

(г)

 

 

 

Трос АВ совершает сложное движение, состоящее из от­ носительного движения (движения троса относительно сала­ зок со скоростью Vi) и переносного движения (движения тро­ са вместе с салазками по неподвижной горизонтальной плос­ кости со скоростью v).

Абсолютная скорость троса АВ в направлении оси х рав­

на:

Vixa = V— V].

Найдем Vi (по законам кинематики) через t= 10 сек

по­

сле начала движения системы (вращения шкива В):

 

Vi = cor= (et) - г= 5 -Т0 - 0,2 =10 м/сек.

 

Тогда

 

Vlxa = V— 10.

(д)

7 Заказ 249

97

 


С учетом (г) и (д) выражение (в) примет вид: mi (v—10) + m 2v = 0

или так как

 

р • 1

30- 2

60

 

 

 

 

{кг) ,

 

ш, ~ g — g “ g

Q + G

ш, -

3000 + 1000

-

60

3940

g

-

о-

g

{кг),

 

 

ь

 

g

 

60

(v -

3940

=

0 .

 

 

10) - | - - 7 - v

 

 

&

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

6010

_

м

 

 

V =

L0-|-Oi/40 ~

 

С с К

'

Таким образом, через 1=10 сек после начала перемотки троса влево с барабана А на барабан В салазки будут пе­ ремещаться вправо со скоростью v = 0,15 м/сек.

Г л а в а VII. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§28. Момент количества движения твердого тела

имеханической системы

А'1о м е и т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т в е р д о г о те­ ла, ■с о в е р ш а ю.щ е г о п р о и з в о л ь н о е д в и ж е н и е .

Моментом количества движения какой-либо движущейся точки к относительно некоторого центра О (как известно из динамики точки) называется ‘произведение количества дви­

жения этой точки (mkVk) на длину перпендикуляра,

опущен­

ного из центра О на направление mkVk (рис. 58):

 

Lko==mkVkhk-

(137)

Момент количества движения точки можно представить и в виде вектора Lko, равного по величине Lko и направленного перпендикулярно плоскости, в которой лежит вектор mkVk и

98


Рис. 58

-точка О (аналогично тому, как в .статике момент силы отно­ сительно точки представляется в виде вектора-.момента).

Для твердого тела вектор момента количества движения Lo относительно .какого-либо центра О можно определить, сложив векторы моментов количеств движения относительно того же центра О всех точек, составляющих' данное тело:

L0= 2 L ko.

. (138)

Спроектировав векторное 'равенство (138) на осй коЬрд'и- нат, получим выражения для определения 'моментов количе­

ства движения тела относительно осей координат:

Lx—2 Lkx,

 

Ly= 2Lky,

(139)

Lz = 2Lkz,

 

где Lx; Ly; Lz — моменты количества

движения 'твердого

тела относительно осей координат;

2Lkx; 2 Lky; 2Lkz — суммы моментов количеств движения

•всех точек тела относительно, осе» коор­ динат.

Выражения (139) показывают, что момент количества дви­ жения твердого тела относительно .какой-либо :бси - равен алгебраической сумме .моментов количеств движения отно­ сительно той же оси всех точек, составляющих тело. Момен­ ты количеств движения всех точек тела относительно любой оси раположены в плоскости, 'перпендикулярной "этой оси и определяются по формуле (64). к >

Вектор момента количества движения тела относительно какой-либо оси будет направлен вдоль данной оси (рис. 59).

t.9&


Рис. 59

. Зная момент количества движения тела относительно ка­ кого-либо центра О, можно найти моменты количества дви­ жения тела относительно любых, трех взаимно перпендику­ лярных осей, проходящих через данный центр О:

Lo=LH-Ly+Lz. (140)

Мо м е н т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т в е р д о г о т е л а , с о в е р ш а ю щ е г о в р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е

Пусть какое-либо тело совершает вращательное движение относительно оси z (рис. 60).

Тогда момент количества движения данного тела относи­ тельно, оси г будет равен:

 

 

Lz= 2 Lkz= 2 micVkhk.

(141)

Замечая,

что

 

'

Vk=cohk>

 

где ;

,

 

 

о — угловая скорость вращения тела (величина, одинако­ вая для всех точек вращающегося тела), '

получим:

Lz = 2mk(cohk)hk=a>2mkhk2.

160

Рис. 60

Учитывая, что Hrrikhk2 представляет собой момент инерции данного тела относительно оси z, окончательно будем иметь

Lz= J zco.

(142)

Таким образом, момент количества движения твердого те­ ла, вращающегося вокруг оси г, равен произведению момента инерции данного тела относительно оси г на угловую ско­ рость вращения тела.

Мо м е н т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я м е х а н и ч е с к о й с и с т е м ы

Для механической системы, состоящей из группы тел, мо­ мент количества движения относительно какого-либо центра (оси) будет слагаться из моментов количеств движения отно­ сительно этого центра (оси) всех тел, входящих в -систему:

Lo = 2Lko,

(143а)

Lz=2Lkz.

(1436)

Бели механическая система, состоящая из нескольких тел, вращается вокруг какой-либо оси z, то момент ' количества

101