Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 179

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис.

10

 

Зависимость между круговой частотой колебаний

точки

(к) и периодом ее колебаний

(Т) выражается следующей

формулой:

 

 

Т = " X

.

Ц7)

Как видно из (выражения (14), во все время колебаний точки частота колебаний точки является величиной постоян­ ной и зависит только от жесткости пружины (с) и массы точ­ ки (гп):

Период колебаний Т точки будет также величиной посто­ янной и равной:

Т = 4 ^ = 2 . | / ^ .

(19)

Гармонические колебания точки являются незатухающи­ ми колебаниями.

§ 6. Затухающие колебания точки

Точка (тело) будет совершать затухающие колебания, если, кроме восстанавливающей силы пружины (FB), будет действовать на нее сила сопротивления (R) (рис. 11).

21

о а: ar

Рис. 11

Силы сопротивления R, действующие 'на точку при ее дви­ жении, различны по своей физической природе. Они могут быть силами постоянными (силы трения) и силами перемен­ ными (зависящими от скорости движения точки и т. д.).

Рассмотрим тот случай затухающих колебаний точки, когда на точку действует восстанавливающая сила пружины FB= —сх и переменная сила сопротивления R, пропорцио­ нальная скорости точки (колебания точки в вязкой среде):

R= —pv,

(20)

где р — постоянный коэффициент вязкости

среды;

v —скорость точки.

 

Знак минус в выражении (20) показывает, что сила со­ противления R, действующая на точку со, стороны вязкой среды, направлена в сторону, противоположную скорости точ­ ки.

Запишем дифференциальное уравнение движения тойки М (под действием сил Fn и R), происходящее в направлении оси х:

d2x m dt2 =

или

d2x

m - ^ r = F8 + R .

Подставив значения FB и R в полученное выражение, по­ лучим.:

d2x

••■(21)

m—j^“ = — сх — р v .

22

Так как

v

dx

 

dt

’

то после подстановки значения v в уравнение иметь:

 

d2x

 

dx

 

 

n i

<jt2

“Г

Iх

d t

+ с х =

0 .

Разделим уравнение (22) на т :

 

d2x

 

и

dx

 

с

 

dt2

+

Д]

dt

+

ш х ~

^ '

Обозначим

 

 

 

 

•X

 

 

 

2 п

 

 

 

 

 

Ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'к2

 

с

 

 

 

 

 

Ш

•

 

 

 

 

 

 

Подставим (24) и (25) в (23). Получим

(21) будем

(22)

X 23)

(24)

(25)

d2x

dx

+ k2x = 0 .

(26)

~ ft2~ +■ 2n —

Выражение (26)

называется д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м з а т у х а ю щ и х к о л е б а н и й т о ч к и .

Решение дифференциального уравнения (26),

как извест­

но из курса высшей математики, записывается в виде:

при n < k ■

 

х = A e -ntsin(k!t Н- а) ;

(27)

при n = k

(28)

x = e-nt(Cit+C2);

при п > к

 

х = Ае_ nt sh (yTi2 — к2 * + °0 •

(29)

При значениях п= к и п > к , т. е. когда сопротивление дви­ жению точки велико, точка совершает апериодическое движе­ ние согласно выражениям (23) и (29). График апериодиче­ ского движения точки показан на рис. 12.

В выражениях (28) и (29)

23

С], Сг, А, а — постоянные, определяемые из начальных ус­ ловий движения точки;

sh — гиперболический синус.

Более подробно остановимся на случае, когда n < k , т. е. когда сопротивление движению .точки мало. При этом точка совершает затухающие колебания согласно уравнению (27):

х = Ae_ntsin (k it+ a),

где х — отклонение

точки от

положения ее равно­

весия 0—0;

колебаний

точки (максималь­

А — амплитуда

ное отклонение точки

от положения равно­

весия) ;

 

 

ki = yk2—п2 — круговая частота затухающих колебаний. График затухающих колебаний показан на рис. 13. Время, в течение которого происходит одно полное коле­

бание точки при ее затухающих колебаниях, называется пе­ риодом затухающих колебаний (Ti).

Зависимость между круговой частотой затухающих коле­ баний точки ki и периодом ее колебаний Ti такова:

т - = т г -

Во все время колебаний точки частота ее затухающих ко­ лебаний — величина постоянна и равна:

к! = У к ^ п 2,

(30)

где

 

к — частота колебаний точки без учета

сопротивления

■среды;

 

п — коэффициент, характеризующий вязкость среды.

24

Рис. 13

Как следует из зависимостей (24) и (25),

к =

 

(31)

_

J i .

(32)

~

2ш

 

При затухающих колебаниях точки амплитуды, колебаний точки постепенно уменьшаются.

Определим, пак уменьшается последующая амплитуда Ai+i точки по сравнению с предыдущей А]. Для этого соста-

Ai + |

вим отношение —— : Aj

^ L ± i_Ае— п(‘ +~^~ Aj д е—nt

Выражение (33) показывает, что амплитуды затухающих колебаний точки составляют ряд, представляющий геометри-

Т,

- п —

ческую убывающую прогрессию со знаменателем е

н а ­

зываемым декрементом затухания.

 

25-

Колебания точки, происходящие в вязкой среде, быстро

.затухают (даже при небольших значениях п).

§ 7. Вынужденные колебания точки

а) В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я т о ч к и с у ч е т о м с ил с о п р о т и в л е н и я с р е д ы .

Точка совершает вынужденные колебания, если на нее, помимо восстанавливающей силы пружины (Fn) и силы со­

противления среды

(R),

действует

возмущающая

сила

( Fвозм.) •

 

 

 

 

Рассмотрим тот случай вынужденных колебаний

точки,

когда возмущающая сила

является периодической функци­

ей, изменяющейся по

синусоидальному

закону:

 

 

Fвозм.— Н sin pt.

 

(34)

Запишем основной закон динамики для движущейся направлении оси х точки, на которую действуют силы FB, It FB03M. (рис. 14):

sZC «

л

 

 

 

 

 

'

 

X

 

 

 

,

 

 

М

—

 

;

&

 

 

~ I V

F ( o s *

 

 

 

 

 

1”'

"

 

 

 

 

.............................У

 

О

 

 

 

 

 

Рис.

14

 

 

 

m4 f =

Fb +

R +

Fbq3m-

(35)

Так как

 

 

 

 

сила пружи- ) (36)’

FB——сх — восстанавливающая

ны;

сопротивления

среды, в кото­

R= —p,v— сила

рой движется

точка;

действующая

FB03ji.=H sin pt — .возмущающая

сила,

на точку,

 

 

 

 

26

то выражение (35) с учетом (36) примет вид:

d2x

dx

(37)

m_dF_ +

!А“dT + сх = Hsin pt .

Разделим уравнение (37) на m. Получим:

d2x

+

Л.

dx

H

(38)

dl2

dt + 1JTX =

— sin pt .

 

m

 

 

Обозначим

d2x

dt2

2 n

J L

— m ’

к2 =

c

 

m

’

h =

H

 

m

'

запишем в следующем виде:

dx

+ 2ni dt + k2x - h sin pt .

(39)

(40)

(41)

(42)

Выражение

(42)

называется

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

в ы н у ж д е н н ы х

к о л е б а н и й

точки.

Решением дифференциального уравнения (42),

как извест­

но из курса высшей

математики, будет:

 

 

где .

 

х=х*+х**,

 

 

(43)

 

 

 

 

 

х* — общее решение дифференциального уравнения (42),

когда правая часть этого уравнения равна

нулю;

х** — частное решение уравнения (42).

(42) запи­

Общее решение дифференциального уравнения

сывается в виде

(ем. § 6):

 

 

 

 

x*=Ae~ntsin (кД+а) ’

 

(44)

и представляет, собой уравнение затухающих колебаний точ­ ки.

Частное решение дифференциального

уравнения (42) бу­

дем искать в виде:

(45)

х**=В sin Opt—р).

Подставив значение х** в .уравнение

(42), пЬлучим:

—Bp2 sin (pt — Р) + 2 npB cos(pt — Р) + .

+Bk2 sin(pt — В) = h sin pt .

27

Смотрите также файлы