Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 3
0,02= A sin а,
{0,12 = —6-0,02+SA cos а;
0,02= A sin а, 0,24=8А cos а.
, Отсюда
|
0,02 ■ |
8 |
|
|
|
tg а = |
о,24 |
= |
° ’667 ’ |
|
|
а = 33°40'=0,59 |
рад, |
|
|
||
0,02 |
0,02 |
|
0,02 |
0,037 . |
|
^ = S i n а = sln(33° 40') = |
0,55 |
||||
|
|||||
Подставив значения А и а в выражение (>6), найдем закон колебаний пластинки относительно оси 0—0 (положения рав новесия) :
х = 0,037 e_6tsin (8t+0,59).
Если за начало отсчета взять ось Oi—Oi (что и требуется по условию задачи), то закон колебаний пластинки примет вид (рис. 18):
x, = x + fCT.,
или
х, = 0,098+0,037 e~6t sin (8t+0,59) (м).
П р и м е р 4. Тело весом Р = 0,98 н, подвешенное на пру жине, верхний конец которой закреплен неподвижно, колеб лется с периодом Т = 0,4 я сек в вязкой жидкости, сила сопро тивления которой ■пропорциональна первой степени скорости тела. При отсутствии сопротивления среды период колебаний тела равен Т=0,2я сек. Найти значение силы сопротивления среды, а также определить уравнение движения тела, если известно, что телу сообщена начальная скорость Vo= = 0,14 м/сек, а пружине сообщено начальное удлинение fo=0,06 м; за начало координат выбран нижний конец недеформированной пружины (рис. 18).
Р е ше н и е . |
Дифференциальное уравнение затухающих |
колебаний тела, |
происходящих под действием восстанавлива |
ющей силы пружины |
FB= —тех и силы сопротивления -среды |
R = —pv, имеет следующий вид: |
|
d2x |
dx |
dt2 |
“Ь 2 n- dt~ “b k2x ~ 0 > |
40
где
2n = Л . m ’
(а)
m
Зависимость между частотой затухающих колебаний тела и частотой его гармонических колебаний:
k, = yk2—п2,
или |
|
к,2 —к2—п2. |
(б) |
||||
|
|
||||||
По известным периодам |
колебаний тела Т и Ti найдем |
||||||
частоты его колебаний к и kp |
|
|
|||||
|
|
2 к |
|
2 я |
= |
10 сек -1 |
|
к |
“ |
Т |
= |
0,2 те |
|||
|
|
||||||
|
|
2 к |
|
2 к |
= |
5 сек-1 . |
|
kl |
- |
Т, |
- 0 ,4 к |
||||
|
|
||||||
Подставив значения к] и к в выражение (б), ‘получим:
52= 102—п2.
Отсюда
п = У102—52=8,7 сект1.
Подставив значение п в выражение (а), найдем коэффи циент сопротивления среды р:
Р0,98
р = 2п ■га = 2 • 8,7 = 2 - 8 , 7 -g-g = 1,74 нсек/м .
Сила сопротивления среды будет равна:
R = —p v = —l,74v (н).
Определим положение равновесия тела. Для этого найдем величину статического удлинения пружины:
Р
Так как
с
m ’ ‘
41
то
Р |
Р • g |
9,8 |
fcT = к2 • m |
= к 2- Р = |
102 = 0)098 м |
Запишем уравнение затухающих колебаний тела, проис ходящих относительно положения равновесия тела (оси
0—0):
x=Ae_nt sin |
(k it+ a). |
(в) |
Скорость vx движения тела |
будет равна: |
|
dx
vx = ~jf- = — n A e-nt sln(kit 4- a) -j- Ake_nt cos(M + a) =
= — 8,7 Ae-8'74 sin(5t -+- a) + A • 5e~8'7t cos(5t + a) ■ (r)
Начальные условия движения тела |
таковы: |
|
||
t = 0; |
х0 = fo = 0,06 м; |
|
(Д) |
|
vx |
= v0 = 0,14 м/сек |
|||
|
||||
Подставив начальные условия (д) в выражения (в) и (г), получим:
|
0,06 = Asina, |
(е) |
||
|
0,14 = —8,7А sin a+5A cos a |
|||
|
|
|||
Решая систему (е), находим |
А и а: |
|
||
( 0,06 |
= A sin а, |
|
|
|
\ 0,14 |
= —8,7 (0,06) +5А cos а. |
|
||
f 0,06 |
= A sin а, |
|
|
|
\ 0,66 |
= 5А cos а. |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
tg a = |
0,06 • 5 |
= 0,455 , |
|
|
0,66 |
|
|||
|
|
|
|
|
а = 24°30' = 0,43 рад , |
|
|||
0,06 |
|
0,06 |
0,06 |
|
А = sin a = |
sin 24u 30' = |
0,41 = 0)147 ^ ' |
|
|
Подставив значения А и а в выражение (в), найдем за кон колебаний тела относительно положения его равновесия
(оси 0—0):
x= 0,147-e-8'7tsin (51+0,43) |
(м). |
Если за начало отсчета взять ось 0[—0j |
(что и требуется |
42
по условию задачи), то закон колебаний тела будет иметь вид:
Xi = X+ |
fCT., |
|
или |
|
(иг). |
Х!= 0,098+0,147-е-8-п sin (5t+0,43) |
||
П р и м е р 5. На пружине, |
один конец которой закреплен |
|
неподвижно, подвешен магнитный стержень, проходящий че
рез соленоид, |
и припаянная к нему тонкая |
пластинка, пло |
|||
щадь которой |
равна S = 0,02 |
м2. По соленоиду течет пере |
|||
менный |
ток, |
действующий |
на стержень о |
силой Fi = |
|
= 4 sin 12t |
(к). |
Вес пластинки |
со стержнем |
равен |
Q = 0,93 н. |
Пластинка помещена .в жидкость. Сила сопротивления дви
жению пластинки |
в жидкости |
определяется |
формулой |
R=2St]v (н), где |
v — скорость |
пластинки |
в м/сек, ц = |
= 100 н сек/м3—коэффициент вязкости жидкости, S = 0,02 м2— |
|||
площадь пластинки. |
Коэффициент жесткости пружины равен |
||
с=40 н/м. Найти уравнение движения пластинки, если в на чальный момент пружина была растянута на f0 = 0, а пластин ке была сообщена скорость Vo = 0,7 м/сек. Начало координат выбрать в положении статического равновесия центра тяже сти пластинки со стержнем (рис. 19).
t
|
Рис. |
19 |
Ре ше н и е . |
Запишем дифференциальное уравнение ко |
|
лебаний точки, |
происходящих |
под действием возмущающей |
43