Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Обозначим

Pt—Р = Ф ,

откуда

p t = i p —f-p .

Тогда

— Bp2 sin >]) -+- 2 np В cos + Bk2 sin •!) = h sin(^ -f- (3) ,

уравнения (46) были равны коэффициентам при sin ф в пра­ вой части этого уравнения, коэффициенты при соэф в левой

уравнение колебаний точки, находящейся под действием пе­

В выражении (50) постоянные А и а определяются из на­ чальных условий движения точки, а значения В и р — по фор­ мулам (48) и (49).

Как видно из выражения (50), колебания точки, проис­ ходящие под действием периодической возмущающей силы, являются колебаниями сложными и слагаются из собствен­ ных затухающих колебаний точки [первый член в правой ча­

28

Время, в течение которого точка совершает сложные ко­ лебания, слагающиеся из собственных затухающих и вынуж­

ся очень незначительное время, точка начнет совершать толь­ ко вынужденные колебания, определяемые зависимостью:

симальное отклонение точки от положения равно­ весия) ;

р— частота вынужденных колебаний точки, равная ча­ стоте возмущающей силы;

29

р — начальная фаза вынужденных колебаний .точки. Амплитуда вынужденных, колебаний точки определяется

зависимостью (49):

■колебаний точки зависит от величины возмущающей силы, от вязкости среды, в которой колеблется точка, и от соотноше­ ния между частотами собственных и вынужденных колебаний точки.

Рассмотрим, как влияет частота «р» возмущающей силы на амплитуду В колебаний точки.

Пусть для колеблющейся точки величины к, п и h посто­ янны. Тогда значение В будет являться функцией переменной

«р» [см. формулу (49)].

Найдем то значение «р», при котором величина В макси­ мальна.

Вэтом случае функция (к2—р2)2+4п 2р2 из выражения

(49)должна иметь минимум, а ее' производная по перемен­ ной «р» равна нулю:

сцГ[(к2 - р2)2 + 4п2р2] =>0 .

Возьмем производную по переменной «р» от вышеприве­ денного выражения:

2 (к2—р2) (—2р) + 8п2р = 0. ' Отсюда находим значение «р»:

30

Таким образом, при значении pIip = "j/k2—2п2 точка нахо­ дится в состоянии резонанса.

б) В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я т о ч к и б е з у ч е ­ та с и л с о п р о т и в л е н и я .среды.

■Пусть точка совершает колебания под действием восста­ навливающей силы пружины FB= —сх и возмущающей силы Fвозм = Н sin pt. Сила сопротивления среды отсутствует

Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротив­ ления среды определяются тем же уравнением, что'и вынуж­

т. е. при равенстве частот собственных и вынужденных коле­

1.Вынужденные колебания точки происходят с частотой (р) возмущающей силы.

2.От начальных условий движения точки ни частота (.р),. ни амплитуда (В) вынужденных колебаний точки не зави­

сят.

3. Амплитуда вынужденных колебаний точки зависит от соотношения частот собственных (к) и вынужденных (р) ко­ лебаний точки, от вязкости (п) среды, в которой колеблется точка, и величины возмущающей силы (h).

4. При значительном отличии частот собственных и вы-

31'