Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

u P и

и *

I

где

-

вычеты подынтегральных выражений в дей-

/?

*

ѣ

уравнения

д ^

=

О.

етвительнои

нуле

Р

Подынтегральные выражения в (Щ.5) являютоя нечетными

аналитическими функциями

))

,

они

имеют полюсы перфго

по­

рядка в

нулях

знаменателя

Ду

= 0,

п

выражение

^ля кото­

рого

можно

получить формальной заменой

на

Р

в

формуле

(Ш.З).

к р а

А : ^ а » /

I

Полагая

и

и отбрасывая

члены более

вы­

соких

порядков,

получим уравнение

Ду

=0

в следующем виде:

и

у V

= о.

(Ш.6)

I

Imv

I

Это уравнение имеет один дейст­

вительный корень

Р * = эеу [ э е > і) ,

а

также два ряда комплексных корней

4

и

фк

(см,рис.9).лежащих

в первом

квадранте

комплексной плоскости

>[)

эамѳним интеграл

по петле

г

интегралами

по контуру A B D Е F &

,

где

точки

А

,

В ,

Л , . . .

лежат

на

окружности бесконечно боль' ого радиу­

са,

а

петля Е F охватывает

все нули

уравнения

Д ^~

0.

Тогда каждый интеграл в (Ш.5)

Рис.

9. Контур инте­

можно

представить

в

виде двух интегра­

грирования

в

комплано­

лов

по

3 D и Е F

,

причем все инте­

вой

плоскости V

гралы по SD обратятся в нуль вследстви?

нечетности подынтегральных функций. Останутся лишь интегралы

по E F

• Эти интегралы,

представляющие

выражения для компо­

нент

поля

о Р

и

t / s ,

вычисляются

через

вычеты в

нулях

Ду =

0.

t//= -

- f - ~ -) N

lV'(Ar

S i n

PL &■РХр

(И.7)

(< ? Д ѵ / э ѵ ) „ J 1 Ѵ*

^ " ‘г ’ Г ^

1>

л

,о>

- і і>х ж

8 і

у

.)

'Fit(к.*)-sm Р ѳ

ejr.p

V

/ г (/}

•

-----

7

* (S А, /р

\

~

л

’ (Ш.В)

' I , ( ѵ/

»I. *

где через

т),

Ѵк . . .

обозначены два комплексных ряда

нулей ек

и

ß K функции

.

Полученные ряды (Ш.7)

и (Ш.8) хорошо сходятся в опреде­

от корня

)>

и вида волны.

Однако ряды (Ш.7) и (Ш.б)

иокно преобразовать таким об­

разом

Г Ѵ ь ] , что в результате

получим выражения для

смеще­

ний

и Р и

V s в виде следующих составляющих:

и '- и Г ч -

(Ш.9)

и = и *+ I / *

+ и*я ,

(Ш.ІО)

где

г/,

и

5 - составляющие в виде рядов, аналогичных

рядам

(Ш.7)

и (Ш.8), которые везде быстро сходятся;

1/*%

и

-

интегралы по перевальному контуру, которые соответ­

ѵ,я я а/я~

добавки,

являющиеся вычетами подынтегральной

функции в

нуле

))-)> * . .

что Кр а

Л3 а » у

Принимая во внимание,

н

.необхо­

димо к цилиндрическим функциям, входящим в решение,

приме­

нить асимптотические преобразования.

Для областей,

где

соблюдаются условия:

I $2- х г I

» A s c

I

—у

I >:>А

у

f А

(.Ш.ІІ)

M

и

( !)

и их производных

можно пользоваться длял^(х)

Я у (*/)

асимптотикой Дебая

£ /Ч J .

В областях

асимптотики Дебая уравнение A y =0 пооле

отбрасывания члѳвозі

порядка

выше sc и

у

принимает сле-

дуюгий вид:

I

‘

которое имеет действительный положительный корень

и зависит от cf -

х/ у <1,

исходи из

этого, смещения оо значком R

в

(ШЛО), которые вычисляются как вычеты в нуле

і>

* , соотвѳт- ‘

ствуют смещениям в поверхностной волне Релѳя,

распространяю­

щейся по поверхности цилиндра оо скоростью *

и экспонен­

циально затухающей с увеличением расстояния от цилиндра.

Как было сказано выше, слагаемые (/*.и V

в

(Ш.9) и (Ш.ІО)

ются следующими выражениями:

для

продольных волн:

г ^ а / с о л

( Ѳ ~ - Ѳ ) ,

iâe

(Ш.І2)

для

поперечных волн:

? = a / c o s ( - ^ - - e ) .

(Ш.ІЗ)

Область

полутени

располагается вблизи границы

:

■£,= a é

cos (го* “* Ѳ + -^r) .

(Ш.І4)

Таким

образом,

областью геометрической тени

для

продоль­

ных волн

являются области

I и 2,

для

поперечных волн

- область

I , область полутени -

область вблизи

прямой ъ3 .

Составляющие смещения

и * и

а / в

(Ш.5),(Ш.9),

которых достаточно взять несколько первых

членов,

Вбливи границы тени

и в областях тени условия дебаевско­

го приближения (Ш ,II) не

соблюдаются, и в

этих

областях

необ­

ходимо пользоваться асимптотикой Ханкеля -

Фока

.

Кроне

того, для разных рядов комплексных корней

и

уравнения

ставляющих продольных смещений и '\\ 2ГР,

которые

быстро сходят-

оя в области тени правее г3 . Причем

ряды по

у к в (Ш.7) для

речных смещений в

области правее линии гэ ряды по

имеют

асимптотику V* и

гг„ •

Ряды для поперечных смещений по

^

быстро сходятся в области правее гг и имеют в этой облаоти

асимптотику ѵ*г и

i r j .

Таким образом, падение поперечной вол­

ны на тело вызывает два

типа поперечных волн дифракции:

кроне

ной облаоти для продольных волн

(обл. 3 и 4

рис. 10)

распро­

страняются волны геометрической

части поля смещений

IS р \

Ѵ Р I подчиняющиеся геометрическим законам

отражения и суще­

ласти тени

для продольных волн (обл. I и 2) распространяются

только лишь дифракционные волны,

математическим выражением

для

которых является

и ] и zf'".

В области овета (обл. I , 3, 2)

для поперечных волн, так же,как

и д л ,

продольных, распространяют­

ся: геометрическая чаоть поля

смещений l / st К * и два типа по­

перечных дифракционных волн (о

полюсами

и

),

для кото­

рых надо пользоваться соответству­

ющими асимптотиками

f

I k ] . В об­

ласти тени для поперечных волн

Рис. ІО.Картина дифракции

(обл. I) будут распространяться

только два

типа поперечных диф­

п перечных волн

на цилиндре

ракционных ВОЛН.'

Суммируя сказанное и опуокая

составляющие поверхностных смещений, полное поле

смещений в

каждой области можно представить в следующем виде:

область I

и

— и р

ut *+ I / ]

,

гг= гг '+ vf *v v

j

область 2

и

и

и

s

и *

+

IS f

г г ~ г г р-с г г ] ^

V *

область 3

u

= u p-,

l / p-c-

t / s + с/

l / ‘

2

t f

*1

f

v = ггг p+ Y p+ ц ]+ % ]+

>

s

область k

и

= u]-r-U *+t//l

+ и s + l / s