Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

плитудных коэффициентов рассеяния эффективной волны на про­ извольно выбранном включении неоднородной среды. В предыду­ щих выкладках предполагалось, что единичная неоднородность, которая идеализировалась шаром, раооеиваѳт падающее поле плоских волн как сейсыичѳский диполь. Ниже мы рассмотрим в общем случае рассеяние плоской волны (продольной и попереч­ ной) на единичной сферической неоднородности в неоднородной

орѳде, состоящей из

множителей аналогичных рассеивателей,

раэнѳр которых и расстояние между ними много меньше длины

волны во вмещающей среде.

 

 

Так как неоднородность по условию имеет форму шара, бу­

дем решать задачу в

сферической системе координат ( г ,

Ѳ ,

SI

Суммарное поле

смещений вне включения окладываѳтся

из

онѳщѳний, создаваемых падающей и отраженной волнами (продоль­

ной) . и поперечной),

а внутри включения - из

смещений

прелом­

ленных волн. Связь

потенциалов V

и

со смещением опре­

деляется формулой

(П .2). Причем потенциалы

\Р и <р

должны

удовлетворять волновым уравнениям

(П .З).

 

 

Смещение, создаваемое раосѳянной на сферической неодно­ родности волной, будет иметь сферическую симметрию.Потѳнциалы смещения рассеянного на сфере поля, которые должны удов­ летворять волновому уравнению, имеют вид:

9 = 2 0

А п 8Л (*„ х)Рп (oos Ѳ) ;

(п.25)

п —о

 

 

<р = 2 £

( Xj t ) Pn/c o s ѳ),

 

где Ап и Bn - амплитуды мультиполей продольного и сдви­ гового потенциалов; 8 n ( f z ) - сфѳричѳокиѳ функции Бѳоселя определенного рода порядка гг ; Рп (cos Ѳ)ъ рПі, (e o s ß ) - со­ ответственно полиномы и присоединенные полиномы Лежандра;

 

 

 

 

Р

 

 

ct/% (cosß)

(

(П.26)

 

 

 

 

(соз Ѳ )*= зіпѲ

’

 

 

 

 

n,t

у

'

d (Cos Ѳ)

 

к

Р

= —- —

,

К . -

 

—

- соответственно постоянные рас-

 

С р

'

s

 

o s

 

 

 

простравѳния для продольных и поперечных волн.

42

Для определения коэффициентов рассеянных включениями воля необходимо написать граничные условия, заключающиеся в равенстве нормальных и касательных смещений и напряхѳний на поверхности сферического включения вне и внутри сферы. Разло­ жим продольный потенциал эффективной падающей волны в ряд по полиномам Лежандра. Для этого перенесем начало координат в точку , ув , z e ), где расположена рассеивающая частица.’ Потенциал плоской продольной эффективной волны в текущей точке 2 можно записать следующим образом;

 

 

У

( 2 ) ■= У,

(z o + ? ')* = Уа ( г о + t

с о з Ѳ ) .

 

 

 

 

Разложим этот потенциал в ряд Тейлора около

точки

( х 0 ,

 

 

>:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

Ѳ * У

(в 0 )

г

 

(П.27)

 

 

 

/ггяо Кгг *^ ^

 

 

 

 

 

члены cos1" ’Ѳ и

 

 

в свою очередь разлагаются в

ряды

по полиномам Лежандра. Произведя эту операцию, можно предста­

вить потенциал падающей волны в виде суперпозиции бесконечно­

го

числа мультиполей

Г I I /

;

 

 

 

 

 

 

% (г ^

£

0і а~,о(«Р, г )

У

(*.)Р .(сю Ѳ )+ огя/ / ' , і ъ )

у

(ZJ pt (C os О) V

 

 

(*" г)

У (* .)% . (CbSѲ)+а~ ,гп " («* V

*

 

C0S V f,

гдѳ

 

a .

Cl_

 

 

 

 

-

 

 

 

 

(П.*28)

 

 

2 n * a 'rr*t2n+f

коэффициенты ряда-функ-

 

 

rntо *

/77,/

 

 

э т и л .

 

 

 

ции волнового числа

 

 

и номеров

и д

 

 

 

 

Нормальные и касательные смещения

и

выражаются

через потенциалы формулами

(П .5),

і

нормальные и касательные

напряжения

и

Zte

-

формулами (П .6).

 

 

 

 

 

С учетом свойств сферических функций при стремлении аргу­

мента к нулю и бесконечности будем искать потенциалы рассеян­

ного

поля в виде;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%ас - 2 7 А „ К

(* „

* ) Р„ (со» ff) ;

<п-29) .

 

 

 

 

 

в » A»(*s,

 

 

 

 

(П,50)

43

а полные потенциалы внутри включений в виде:

£ - £

/ „

(/<„ ъ ) Р „ ( CosѲ);

( П. 3Г)

% = Д

я ' / п

(KS2 ъ ) Ъ , ,

(cos ѳ ),

( п я г )

где h „ (К ъ ) и / „ ( ( г )

- соответственно

вторые

сфѳричеокиѳ

функции Бесселя третьего рода и сферические функции Бесселя

первого

рода п. -го порядка; Крг

,■ k s2

- волновые

числа

в среде

включений»

 

 

 

 

 

 

Полные потенциалы вне включения состоят из продольных и

поперечных потенциалов

падающей и рассеянных волн:

 

 

У) =

ІРЭ ( г ) *

>

 

 

(П.'ЗЗ)

 

Ѵ>Г Г г« * •

 

 

 

 

Граничные условия

имеют вид:

 

 

 

 

 

и гг и ъ г | г = /? ,

иоі

Цв г

j v ^ p

,

(П.34)

 

Яъъг lz =/f

f

 

 

/г.

 

 

Подставляя выражения (П.28)+(П.ЗЗ) в граничные условия

(11.34),

получим граничные

условия в

явном виде.

Для того,

чтобы граничные условия удовлетворялись при любом Ѳ , коэф­ фициенты при отдельных полиномах и присоединенных полиномах

Лежандра должны равняться нулю,

что дает полную систему урав­

нения для определения амплитуд потенциалов полей смещения

вне и внутри включений.

 

Ввиду того,

что в микронеоднорсдной среде соблюдаются

условия tcpf R<&. /

, к рг R « і

, Rs, / ? « У , k sz R « i , Б

выражениях для амплитудных коэффициентов можно заменить пол­ ные ряды, представляющие сферические функции Бесселя:

с Г

/ " (х ) ( - 0 * (a:cfxy>

S i n SC

VC

X

Ьп ( х ) = і(~< ) х ( х °dXy

cc

двумя их первыми членами.

44

Оценка получающихся при этой амплитудных коэффициентов показывает, что три первых члена мультиполя - шаровой, ди­ польный к квадрупояьный - представляют ообой величины дорад^ ка(£Rj .Вклады же прочих цультилольных составляющих меньше, по крайней мере,в £*R раз.

Таким образом, в случае рассеяния аффективной упругой волны на твердых сферических включениях в твердом теле доста­ точно учитывать в рассеянном поле (П.28) только первые три мультиполя.

Основываясь на сделанном выводе, покажем, как применя­ ются выражения для эффективных параметров никронѳоднородной среды при учете всех трех составляющих в рассеянном поле.

На основании вышесказанного в точке наблюдения// поле, рассеянное на одиночном включении, располагающемся в точке//'", при падении на него плоской волны, характеризующейся потен­

циалом

ffü)

, можно Записать в следующем виде:

где под

іР

понимается скалярный потенциал смещения для про­

дольной волны или проекция векторного потенциала смещения для поперечной падающей волны; l,o , Z , , - амплитудные коэффи­ циенты соответственно монопольной, дипольной и квадрупольной

составляющих поля, рассеянного на одиьочном включении;

 

X = У ( х - х ' у + \ у ■+у ' ) г + { z - z ') *

_ расстояние

между

точками М и ß f ' .

 

 

Вклады прочих мультипольных составляющих в рассеянное поле (П.35) для неоднородности сферической формы значительно меньше выписанных членов.

Методом, аналогичным изложенному в первых разделах это­ го параграфа, который называется методом согласованного поля, можно определить эффективные параметры двухкомпонентной не­

однородной среды

с учетом указанных выше составляющих рассе­

янного поля. Для

эффективных параметров: аффективного значе­

ния волнового числа

к 9ірср,

эффективной

плотности

, эф­

фективного упругого

нодуля

F f9,p - в

раиотѳ I T L ]

были

получены следующие выражения:

(П.36)

т ? т£];

(П.37)

 

К<р <?Г 1 + * я /ё * ( і.0/ к , ‘- L ) ’

(П.ЗѲ)

 

где Е - упругий модуль вмещающей среды - модуль всесторон­

него сжатия, равный

(Е +£*/)

для продольных волн и j u -

для поперечных; £ -

расстояние между неоднородностями.

Формулы (П.36),

(П.37),

(П.38) справедливы как в случае

регулярного расположения включений (пространственная решет­ ка), так и в случае ыикронѳоднородных сред со случайно рас­ положенными включениями. При атом необходимо считать относи­ тельный объем, занятый включениями, малым по сравнению п еди­ ницей. При рассмотрении варианта со случайно расположенными неоднородностями при выводе формул (П.36) * (П.38) испольвовалисъ поля, усредненные по областям Л , малым по сравнению с длиной волны, но содержащим большое число включений. Такое усреднение эквивалентно усреднению поля в некоторой точке по совокупности расположений включений относительно этой точки. Причем в эксперименте такое усреднение происходит автомати­ чески.

Таким обрааом, при расчете аффективных параметров микро* неоднородных сред основная задача заключается в определении

амплитудных коэффициентов Z-, ,

 

,

L 2

составляющих рассе­

янного на единичной неоднородности

поля

(П .35). Найденные

значения коэффициентов і,с , L

,

 

в дальнейшем подставля­

ют в формулы (П.36) * (П.38),

из

которых находят эффективные

параметры.

Общая схема расчета амплитудных коэффициентов рассеян­ ного поля аналогична схеме, данной в этом параграфе, и заклю­ чается в следующем. Поле, рассеянное сферической неоднородно­ стью, необходимо получить в форме выражения (П.35). Для этого рассеянное поле представляется в виде рядов. В общем виде за­ м отаю тся выражения для"полного поля во вмещающей среде,ко­ торое состоит жз поля падающей волны,рассеянного поля и поля внутря неоднородности.

46

Смотрите также файлы