Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

геометрической тени

(для

продольных волн - правее %г , для

поперечных - правее

г ѵ ,

рис. II) поле смещений содержит

у уравнения

л

= 0

имеется

только

один ряд комплексных кор­

ней 9

. В

работах

£ Ѵ \ ,

157

найдены асимптотические

выражения для дифракционных членов:

,

uas »

г $ 5

в виде

рядов.

Для каждой области (освещенной и тени) найдены соответ­

ствующие ряды,

которые хорошо сходятся в

этой области.

§ 2. Дифракция упругих волн

на сфере

Пуоть на жесткую сферу

радиуса а (а . ^ л ) ,

находящуюся

в однородном упругом пространстве с

плотностью

,

паДает

гармоничеокая

продольная волна

(

У - О ;

( Ѵ 2+ а/ )

(И.І5)

< р= 0

и граничным условиям,

заклюй

хіщимся в равенстве нулю смещений

на повеі '-ти сферы

( г

=

а ) :

Э У

г sin Ѳ Ѳ£&0

St-'n . &

av>

■о:

а г

а в /

(Ш.І6)

г г = ~

/

а у

а г

( г ѵ І ^ О ,

г а Ѳ

2" а ѳ эь

Разложим

потенциалы %

падающей волны по сфѳричѳокик

функциям:

- U ( - І )

(2 n +f )

г)Рп

( Cos Ѳ) .

-■Л~ '

<Р = Z T ^ ^ 7 (~С)П(2п * i) Р„ (d) 3 ^

(Р

'

’p

s

(d - )

- сферические функция Вввоѳлг и Гая-

где С* (ос)

и

келя; Рп (d) -

полиномы Лежандра; d = c o s Ѳ

; A „ ß „ t Дп “

коэффициенты, определяемые ив граничных условий.

Подставив решения

(Ш.І7) в волновое уравнение

и в т е * '

в п

= у ;

о / <<>'

.(О

('К , >(Ч

гда

х

= А'р и ,

y - x

s a .

А п

Величину коэффициента

можно получить

иа выражений

для

Л п путем замены

£n (x )

на

^ц (х )нХ п & -

Извѳотно, что ряды типа (Ш.Т7) сходятся,

однако в рядах

необходимо учитывать число

членов

порядка х£ a

,

поэтому для

KLa » i

решение (Ш.Г7) оказывается практически

непригодным.

В

связи с

этим необходимо найти выражение для дифракци­

онного поля в виде

рядов, которые бы хорошо сходились при по­

ставленных выше условиях для радиуса сферы.

Для этого, как

и в предыдущих случаях, преобразуем рчды

(Ш.І7) в

интегралы по петле Г

комплексной плоскооти і>

(ом.рио.'

9 ).

F

fr)

хг t J C o s У Я L

A v l

(Ъ .?}- £

( ъ ф

‘**сЬ>± ■

»-T

(Ш.І8)

,

‘ */v

r

f-0

? » -* (* * * ) „ -‘ >*6,

(Ш.ІЭ)

<p = —

-------- f-

cos і>л

JV - f

KPKS z J

гдѳ PV-1 ^

P » - * [ Cos ( л ~ ѳ)] ■

,

учитывая усло­

Преобразуя выражение

для функции

вия Л у2 »

I

и Аs ar »

I ,

можно получить

аналогичное выраже­

нию ЦП.6) выражение для уравнения

= 0

/ Іб /.

Это уравне­

ние имеет один действительный корень

р ^ а г * /

,

совпадающий

о корнем уравнения Рѳлея,

а также

два

ряда

комплексных корней

" ек и

9к •

,

л

АЛЯ вычисления интегралов (Ш.І8) и (Ш.І9) деформируем,

как и в

случае

цилиндра,

петлю

Г

,

как показано на рис. 9,

чтобы контур

E F

охватил все

корни

^

и

^

. Тогда,

можно представить

интегралы (Ш.І8)

и (I .I9 ) в виде

р лов вы-

чѳтов

относительно

полюсов

jU£

_ - У - *

**-- і

(*г г> - Ъ Ъ .

27ѴѲ *

Ѣ 2± -

е

у,~~рГ Г ^

г er)

К '-і ( X )

.

г *

Яг-P»*-f

- 4

i (0

(Ш.20)

Kp X s

COS l

Я (5My_ f / э y ) ^

1 Ѵ І

ГДѲ

■

Сходимость этих рядов следует из оходимооти рядов (Ш.І7).-

Однако необходимо,

чтобы полученные ряды хорошо оходилиоь

выделить нѳоколько

различных областей т л я смещения.

Необхо­

димо выделить

область тени, куда не

проникают падающие и отра­

женные волны,

где

наблюдаются только

дифракционные,

так навы-