Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В результате подстановки полученных выражений в гранич­

ные условия, заключающиеся в

равенстве касательных и нормаль­

ных смещений и напряжений на

поверхности сферы (П.7),

нахо­

дятся неизвестные амплитудные

коэффициенты l o , Lt ,

Lz в

вырагении (П.35).

 

 

Этим способом были вычислены амплитудные коэффициенты

L z

для нескольких случаев [ 1Ъ]. В случае падения

на неоднородную упругую область плоской продольной волны о

потенциалом

( Z ) = Уо е ~ £

z

 

t- г * » * ’[-

Уз

-

V

(П.39)

 

 

г * ' A i

 

 

 

 

 

V =

- - Г * , , *

* ( '- & //> * ) I

1П.40)

 

 

 

 

 

 

 

(П.М)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г, А

ЗЯг *0^* .

(п.42)

 

 

 

S'*

S'*

 

S'*

 

В случае падения поперечной волны с векторным потенци­

алом

(ßt ( z ) = J

сро е ~ік** *

 

 

 

 

 

L 0 = ° ,

 

(П.43)

К —

т

 

*

.

,

cn .w )

*-г—

г

% ■ * ’( *

- £ ) £ ,

<"•«>

где индекс

(I)

относится

ко

вмещающей среде,

индекс (2) -

к среде

включений;

-

радиус включений.

 

В

результате подстановки выражений (П.39)*(П.45) в вы­

ражения (П.36)*(П.38) получим искомые эффективные

параметры

ыикронѳоднородной среды:

 

 

А ptpr, r f [ t + S (

А

(П.46)

Л

47

 

 

Л V- 2 /J ,

f o , , Х }ІійЛ7)

/

 

J ■ * ,+ % /',- * - %

S '*

 

S ',ff>f>

______ ________

 

(Л.48)

 

Л ,

 

*

где

г /

•/*/

- объемная концентрація

включеній.

Для случая жидких включении в твердой среде нѳооходшо в формулах (П.46)*(П.48) для аффективных параметров положив ^ = 0. Еохи же в твердой среде инеютоя яякронѳоднородныѳ полооти, надо в этих же выражениях положить

\

48

Г л а в а Ш

ДИФРАКЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛ1! В МАССИВЕ С КРУПНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

В практической геоакустике и геофизике часто встречают­ ся случаи рассеяния упругих волн на крупных неоднородностях с криволинейными границами, представляющих собой твердые вклю­ чения, полости, складки в массиве.

При падении акустических воля на крупные неоднородности наблюдается их рассеяние на этих неоднородностях, однако кро­ ме эффекта отражения навидается огибание продольными и попе­ речными волнами поверхности тела, т .е . происходит "просачива­ ние" энергии в зону геометрической теня. Эти явления вызыва­ ют усложнение структуры поля в областях, содержащих неодно­ родности, и будут заметно сказываться при акустическом конт­ роле массива или сейсмической разведке. Кроме того, зная осо­ бенности влияния неоднородностей на поле упругих волн, можно выявлять эти неоднородности. В связи с этим в геоакустике возникает задача дифракции упругих волн на выпуклых телах, эффективные размеры которых больше длины волны.

Включения в массива могут иметь различную форму, однако для практических целей каждую неоднородность можно приближен­ но аппроксимировать телами простейшей формы: сферой, цилинд­ ром, клином.

Гассмотрим дифракцию упругих волн на цилиндре, сфере и жестком клине. Задача о дифракции в теории упругости являет­ ся обобщенной внешней задачей Неймана, которая заключается в определении закона распределения смещений о ( л :, у ) в произ­ вольной точке упругого пространства при наличии в нем включе­ ния или полости произвольной формы, которые искажают основное возмущение и генерируют дополнительные волны. В качестве гра­ ничных условий на поверхности неоднородности задают значения смещений или определенные зависимости между Ними. При задан­ ном виде начального возмущения необходимо определить дополни­ тельные возмущения, которые обычно ищут в виде специальных волн (вид их зависит от формы дифрагирующей поверхности),име-

Ь9

ющих вид уходящих в бесконечность и затухающих там определен­ ным образом фаз согласно принципу излучения.

§ I .

Дифракция у п р у г и х волн на гладких

1

 

 

выпуклых цилиндрах

I

Дифракпия

поперечной волны. На цилиндр радиуЬа а в бес­

конечном упругом пространстве

падает плоская поперечная волна

с потенциалом

<р = е х р ( і ks

cos & - tc o t) .

1

 

 

Решение задачи будем рассматривать в цилиндрической сис­

теме координат

г .,9 ,

2 .

 

 

Будем считать,

что напряжения на поверхности

цилиндра

равны нулю.

Граничные условия звпишутоя в следующем виде:

"

 

 

 

6 * * = ° ,

г гв )= 0

п р и

со.

 

 

Суммарное

поле,

состоящее

из начального и диполя т е л ь ­

 

ных возмущений,

созданных цилиндром, должно удовлетворять

 

волновым уравнениям:

+

я

 

 

 

 

 

 

 

л

іР = 0 \

 

 

 

 

 

 

4

<Р +

 

=

(Ш.І)

 

 

У

 

 

 

 

 

где

н

W

потенциалы продольных

и поперечных волн;

 

кр и

k s

-

волновые числа

продольных и поперечных волн.

 

 

Вследствие

очевидной

регулярности

составляющих дифра­

 

гированного поля в выражения для потенциалов должны входить цилиндрические функции первого рода, в связи с этим решение будем искать в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

СИ-2)

 

% * ч>(

( о п[ -

2 7 ' h

”(*s г) ^

(«s ^>]c o s« * ,

 

 

где

( у )

-

функция

Ханкеля

первого рода; Уп

(и )

-

функция

Бесселя;

£а= і , £п - г (п-

г,...)-іХ = р ^ а ;

 

 

Л - [kn*- (Zn* ■!/if ] n >, '>( x ) H U,(v) * Vxy ( n - / ’p :/'''(xJ //_

( W

-

 

г

 

 

 

,

(И.З)

 

 

2 у f . z

И \

( X ) ,Ч*'\ у I '

V 1/ / < - * у.

 

 

50

 

Функцию

А п /

можно получить иа

/Зп

путем 8амѳны л " \ у )

на

Уп ( у) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А ( п ) = г г ( 2 п ~ 2 - У * ) .

 

 

смещение

гсг

можно равлокить на две компоненты: радиаль­

ную

и

и тангенциальную

V- .

В дальнейшем будем рассматри­

вать выводы лишь для радиальной компоненты

и , и лишь в

окончательных результатах

будут

приведены выражения для тан­

генциальной компоненты ѵ " .

 

 

 

 

 

 

Поле

смещений вне рлиндра

Зудѳт иметь вид:

 

ff У,

j _

<9(Ѵ0

^

Ч і х Р

'

f

'

г ) sin. п в е 1

и = ff г

 

&Ѳ

л

 

 

 

 

(■ Л )

+ -т 2Г&„ n [ - A ? N n J'( \* ) - Z ,

(As x) ] s in

n

 

 

Первая сумма в (Ш.4) представляет собой смещения в про­

дольных волнах

V , а вторая - в

поперечных волнах

о

 

Выражения (Ш.2) являютоя точным решением вадачн. И хотя

ряды такого типа сходятся, хорошая сходимость их возможна

лишь при условии,

что линейные размеры цилиндра меньше

идя

сравнимы с длиной волны ( а

« 2 Я / к

) . в

остальных случаях

ряды сходятоя очень медленно и решение вида (Ш.2) практически не пригодно. В данном параграфе нао будет интѳрѳоовать случай,

когда

а

и /г

о » /

, т .е . размер неоднородностей

больше длины волны.

 

 

 

 

Для получения решений в виде рядов, в

которых достаточно

взять один или несколько порвых членов, необходимо преобразо­

вать

методом Ватсона

Г ТЭ J

сумму (Ш.4) в

интегралы по петле

Г некоторой комплексной плоскости т!> , охватывающей положи­

тельную часть действительной оси (рис;’ 9 ) .

 

 

и * - - * *

АО»

ли

Sin І>0

 

и .

( І.5 )

 

 

Я* ( * г г) Sin })Л

 

 

 

u

 

 

г ) ~ уѵ (к* г)]т £ гл> * е

 

 

 

 

О

 

 

 

51

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы