Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

ного /

( f ) , определенная

в круге

а значит и ее вещест­

венная и мнимая части

порознь, будут

решениями волнового урав­

нения,

которые зависят

в

конечном счете лишь от отношений -х-

функции комплексного

переменного С 'І. .

В нашем случае

функция ъсг из (Ш.25)

при 9 < О

пред­

ставляла собой однородную функцию нулевого намерения

относи­

тельно х , у и t

, а следовательно,

она должна быть веще­

ственной частью некоторой аналитической

функции С :

Перенося

значения

w 0

для, точек границы дифракцион­

ного сектора из соображений непрерывности на сектор (Ш.29),

можно

сказать,

что функция переменного

?

на радиус ах ОЛ

и

OB и в

точках дуг СА

и В В

обратится

в

нуль,

а ці

дуге

СВ

будет

равна единице:

п р и

\ £ \ = r , - f ^ * y ? < ^ S ‘x - / 3

АѴ ( Ч

(

ф

№

О при

a zp

З Х

,

•>= J L

— сС

(Ш.30|

ахН ^

2

Задача свелась к задаче Дирихле, т .ѳ .

к определению {ве­

щественной части

аналитической

функции,

т .е . гармоническо|й

го-0 ,

w

—'

функции

.по предельным значениям на контуре

области.:

В данном случае задача Дирихле легко решается с помощью

метода

конформных отображений,

заключающегося в

том,

что

вместо

независимого

переменного

f

вводят

переменное

соответствующие значения которого меняются в другой области,

где решение получается проще.

Преобразуем

сектор

OACD BO

плоскости £

(см.

рис.17)

в

нижний

полукруг

плоскости

£

(рис. 18) с

помощію

функции

і ^ е ‘ 2 ( е ‘ 'Г ) * * - * * .

(Ш.ЗІ)

При

этом

задача

сводится

к

построению функции

с ш* 32)

в

нижнем полукруге

w,tt)-v/AC)

| | | < / ;

- Х ^ т д ^ к о

(Ш.ЗЗ)

при граничных

условиях:

P f> j\V (% )I~ О

при

J?e{W f

( } ) } = 0

при /

} / =

/ ; —Ж a "Lg

;

Л е ( Н ( ( t ) } = *

при /

/■ /= /;

;

(Ш.34)

R e { 'W , ( t ) } - О

при / ? / = . /

- % < * * /? < & ,

где

чѳрѳа

и

обозначены аргументы тех точек

С

и

2 7 ,

в которые

перейдут после

преобразования координаты

для точек

С и

Д

(см.рис.Г7).

Л

Ж

Ж

,

г

*Г■-Ѵаі

2Ж ~2оС *

Ж

I П.35)

2

ѴЛ-*/<*. +{2еі+ /3 '

2 . ’ 2 Я - 2Ы-

В дальнейшем мы будем основы­

ваться на принципе симметрии, ко­

торый гласит, что гармоническая

функция, определенная в облаоти,

лежащей по одну сторону от вещест­

венной оси и обращающаяся в нуль

на самой оси, всегда продолжается

и в область,

симметричную исходной,

причем ее значения в точках,сим­

метричных относительно вещественной

оси, обратны по знаку.

Зеркально

отразим полукруг в нижней полуплос­

кости в верхнюю полуплоскость координаты £ . Функция

Щ ( Р )

может быть определена в круге единичноію

радиуоа | f

При__

этом должны выполняться следующие граничные условия: Re[

-

~ѵУа обращается в

нудь на д у г а х лИ ,іг ,ъ

единицу -

на дуге СД

и в минуо единицу -

на дуге Ct 3a .

На основании этого можно построить функцию

( ? ) ,

ко­

торая будет удовлетворять этим условиям:

_

_ 1_

е ( е Г' ~ t Х е 1* -

V

(Ш.36)

Ц ( Ѵ

жг

f . ( e ‘r* - t ) ( e ' r* - t )

где значение

d g ( e ‘r‘— f )

в точке £ = 0

равно

.

Реальная

часть Wf ( £ )

будот выражаться

следующим обра­

зом:

необходимо подотавить в нее вместо

^ и f

их.

численную

величину согласно (Ш.35) и заменить

переменную

f

череэ

по формуле (Ш .ЗІ). Для получения окончательного

ответа необ­

ходимо

S' выразить через координаты

х. , у , t

по формуле

(Ш.28).

В

случав, если двугранный угол

(см .рис.15)

имеет свобод­

d vr

в = - Яэ я

= О;

d t ?

— 0 .

(Ш.37)

d п

d n

+оС

' 2

Решение в этом случае ищется совершенно аналогично пре­

дыдущему. Однако при этом отраженная от стороны

OB

волна

с фронтом I &

(см.рио.Іб) не

меняет

знака,

и функция

и г

в

области Г Ѳ Н

, где

будут

распространяться

две

волны -

падаю­

щая и отраженная,

будет

равна 2 .

Кроме того, уоловия

на

ра­

диусах FO

и

ОН судут

иметь вид:

д гіГ I

он

=

О '

(Ш.38)

Э Ѳ

I

I

ае

Задача сведется к отысканию функции

________

v r = J ? e f Wz ( $ ) j .

Граничные условия

в

области

/ f / g у

для

ѳтоВ функции

(см.рис.18)

будут: Re { Wt J =0

на дуге Сг С< , Re

= i

на

дуге

Сг

• Re(W£JD2 на дуге

Окончательно

можно полупить

для

выражение

W2

Гг*7

K + K

(Ш.39)

Х І

/

( е - ‘ ь _ { ) ( e L*T

} )

sc

О

I ‘