Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
Для получения |
и г достаточно опять вернуться к старым |
переменным и взять |
вещественную часть, как и в предыдущем |
олучаѳ.
Большой интерес представляет случай дифракции плоокой акуотичѳской волны на двугранном угле при пространственной вадачѳ (рис. 19). При этом необходимо найти решение волново го уравнения:
|
|
а*и |
а 2и э 2и |
/ |
э ги |
(Ш.40) |
|||||
|
|
а х г |
а у * |
a z ~ |
|
F |
J F |
||||
|
|
|
|
||||||||
о граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
и = о |
|
|
на гранях |
угла. |
|
|
|
|
|
|
|
а и |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а п |
|
|
|
|
Пусть на угол падает плоская волна: |
|
|
|||||||||
V = / |
( с і +ос cosoc Ф у c o sJ 3 фЯ c o s jr ) ; |
- £ ( $ )= О; f < Оf |
|||||||||
где оі. |
, j £ |
и Т |
- |
углы между фронтом волны в осями коор |
|||||||
динат.' |
|
|
при любом é |
|
|
|
|
|
|||
В |
этом случае |
нет |
|
нѳво8нущѳнного движения, |
|||||||
тап как поверхность фронта волны |
|
|
|
|
|||||||
|
|
c t — — x |
co s о |
і — у |
coö ja —z |
co s у |
|
||||
всегда |
пересекает |
ось |
я |
, |
воли c o s |
у |
не равен 0. Точка |
||||
пересечения волны с осью z |
А £о, О ^osc^ |
движетоя |
|||||||||
в направлении отрицательных |
я |
со |
скоростью cos і~ |
|
|||||||
Рассмотрим задачу |
в |
подвижной системе координат |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с і |
|
(Ш.4І) |
|
|
|
|
|
|
r = Z + c o s y |
|
||||
В |
этой |
системе координат волна |
будет казаться |
покоящей |
|||||||
ся и точка ее пересечения с ооью будет неподвижной в начале координат. Математически при этом функция и должна пред ставляться функцией, зависящей только от «г , у и т .■
Вычисляя производные
9*и а*и |
„ |
<Эго |
С * |
а 2и |
aсs * ~ а т г |
& і л |
_~ c u s ^ r а с * |
||
71
и подставляя их в волновое уравнение |
(Ш.40), можно получить |
|||
уравнение следующего |
вида: |
1 |
|
|
ffZU |
9 гс/ |
/ |
<?*и |
(ШЛ2) |
|
|
~ c i ß r |
S'?* ’ |
|
|
|
|
||
которое совершенно аналогично волновому уравнению (Ш.2І) в
разобранном выше плоском |
случае. Граничные условия (Ш.22) и |
|
(1U.37) остаются при этом |
прежними. |
і |
Рис. 19. Дифракция волны на |
двугранном |
|
||
|
угле |
|
|
|
В свяаи с этим решение для пространственного акустиче |
||||
ского случая можно получить из |
найденных выше |
решений |
(Ш.Зб) |
|
и (Ш.39), произведя замену і |
на Z" и |
Cs |
на C i f |
г |
согласно выражению (Ш .4І). |
|
|
|
|
Дифракция на твердом бесконечно протяженном клине в
упругом пространства. |
Рассмотрим |
в Цилиндрической системе |
||
координат Z , Ѳ , |
z |
упругую среду с модулем сдвига ^ , |
||
заполняющую сектор |
2: ^ о , |
О |
и граничащую о жест |
|
ким клином ( Я /т |
Ѳ < |
) . |
Предположим, что трение |
|
между жестким клином и окружающей его упругой средой отсутст вует, нгі среда не отрывается от клина, т .ѳ . на гранях кгина
7?
иочѳзаім нормальные смещения и касательные напряжения:
и , = о , |
?2 в - о |
|
при ѳ |
z < • |
|
|
|
|
(Ш.43) |
Вводя продольный |
У |
и поперечный ф |
потенциалы, гра |
|
ничные условия можно переписать в следующем виде: |
||||
§ % |
- 0 , V |
= 0 |
аря 0 = О ,£ г ■ |
(Ш.44) |
При таких условиях при отражении падающих волн от граней |
||||
клина не происходит появления обменных волн, |
т .ѳ . при падении |
|||
на грань продольной волны отражается только |
продольная волна, |
|||
а при падении поперечной отражается только поперечная волна. Ввиду того, что у клина имеется острое ребро, при отражении от этого ребра возникает обменная дифрагированная волна, не смотря на отсутствие отраженных от граней обменных волн, В связи с этим для обеспечения единственности решения кроме граничных и начальных условий необходимо еще дополнительное "условие на ребре", эквивалентное требованию выполнения зако на сохранения анергии,
В качестве условия на ребре необходимо, чтобы при смещения были ограничены, а напряжения и деформации росли медленнее, чем t ~ f .
Пусть из среды пространства на клин падает плоская вол на. Эту плоскую волну, как и в предыдущем случав, с помощью интеграла Дюамѳля можно представить ступенчатой функцией,по этому поставленную задачу будем решать, считая, что потенциал волны, падающей на клин,описывается функцией Хевисайда, т .е . равен нулю перед ее фронтом и единице за ним.
Волновая картина, получающаяся при дифракции на жестком клине, аналогична описанной выше. Причем при Ѳ„ < ( т Г '- і) х образуется зона геометрической тени (рис. 20), а при зона геометрической тени не образуется. Знак потенциала про
дольной отраженной волны совпадает со энаком потенциала па дающей продольной волны, а потенциал поперечной отраженной волны имеет знак, противоположный знаку потенциала падающей.
73
Решение 8адачи в этом случае иідетоп, как и в предыдущей случае, с помощью метода функционально-инвариантных решений Смирнова-Соболева. Для этого вводятся переменные:
где |
e h â ^ - ^ ; |
|
|
|
|
|
|
Далее производится конформное отображение областей про |
|||||||
дольного и поперечного возмущений на верхние полуплоскости |
|
||||||
комплексных переменных |
и |
2 г , причем радиусы |
9 |
= |
О |
||
и & — |
переходят в отрезки |
действительной оси ( і , |
|
) |
и |
||
( - “% --* |
), а дуги окружности |
z= c p t |
и ъ= cs t |
(фронты |
|||
дифрагированных продольных |
и попѳюѳчных волн) - в отрезок |
|
|||||
действительной оси ( -1 ,1 |
); внешность |
же этого сектора |
(часть, |
||||
где возможны продольные и поперечные возмущения) так же отоб
ражается в отрѳэок |
прямой (-1 ,1 ). |
||
|
Потенциалы ^ |
и Y f |
ищутся в виде действительных час |
тей |
аналитических функций введенных комплексных переменных |
||
Ф ( |
£ , ) и у / ( 2 г ) |
, которые |
регулярны в верхней полуплоскости |
и удовлетворяют на действительной оси условиям, вытекающим из граничных условий.
В работе / 1 8 J произведен расчет дифракционного поля сме шений при падении на жесткий клин продольной и поперечной волн.
Данная вадача оказывается весьма близкой к акустической и позволяет найти замкнутое решение, хотя услозие на ребре не позволяет полностью свести ее к акустическому случаю. Воз мущение является сумной двух решений, ччрвоѳ из которых есть решение соответствующей акустической задачи, а второе описы вает влияние упругости среды.
При падении продольной волны:
(Ш.46)
Здесь Уа - решения акустической задачи с граничным условием
ЭѲ |
= о ' Р (т ) — (т+ Ѵ т *- * ') , |
7 |
Рис. 20. Волновая картина при дифракции продольных волн на жестком бесконечном клине
Как видно из (Ш.46), |
поправки |
|
к акустическому решению |
||||||||
удовлетворяют начальным и граничным условиям. |
Они исчезают на |
||||||||||
фронтах дифрагированных волн, |
так |
как |
они не |
связаны с волна |
|||||||
ми, отраженными |
от |
граней |
клина. Полученное решение совпадает |
||||||||
с акустическим, |
если падающий луч направлен по биссѳктриоѳ |
||||||||||
клина ( |
Ѳо = |
я / г т . |
)» іак |
как |
c e s |
т |
&с = о |
, При этом значе |
|||
нии угла |
Ѳ0 |
акустическое решение |
автоматически удовлетво |
||||||||
ряет условию на ребре. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
При падении |
поперечной волны: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
-( |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
п |
sCn Jtm ■ |
- (ѳ„ Tb)-cos(Ѳт)[р(Ср t / i f j?(cpiA)b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
° |
(ШЛ7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7 — |
|
s£n(6^rn)-s ‘ri(& ^)[p(cs i A ) - ß j ^ i ^ j ] , |
||||||
В этом случае ни при каком угле решение не совпадает о акустическим, так как sin. гг 90= о при = 0 или , т .ѳ , когда падающий луч скользит вдоль одной из.' граной клина, что
75