Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
ф 2= - ^ ~ М г К * а гЬ (і* - |
e r e c t e d ) ; |
(У.32) |
R * = }! f N i t c * a L ( i - - § - a t e £ y d ) . |
(У.ЗЗ) |
|
Корреляция флуктуаций параметров. Квадраты флуктуаций уровня и фазы не дают еще полной характеристики статистиче ских свойств волнового поля. Более полно статистические свой ства флуктуаций волнового поля можно охарактеризовать с по мощью коррелятивных функций, определяющих корреляцию между флуктуациями уровня и фазы в точке приема, а также автокорре ляцию флуктуаций уровня и фазы.
Корреляционная функция /? ф флуктуаций уровня и фазы в точке приема в случае статистически изотропной среды опреде ляется следующим образом:
R < p — - N * L ' f d $ J C i 6 ß C ^ ' ) d & , |
(у.з4) |
||||||||||
/> г |
\ |
|
- |
интегральный |
косинус. |
|
|
||||
где & = ^ Т Г |
|
|
|
||||||||
•Если N |
(?■')= е ~ |
* о - ф о р м у л а |
(У.34-) |
перепишется |
|||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р Ф = ^ г - М гк 3сх.3 е п .( і +<£г) . |
(У.35) |
||||||||
Коэффициент корреляции флуктуации уровня и фазы опреде |
|||||||||||
лится |
|
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
Х Ф |
|
|
|
|
|
|
|
* ф |
|
V |
F W |
|
|
|
|
|
|
На основании выражений (У.32), |
|
(У.ЗЗ), (У.35) получим |
|||||||||
|
д* +_* |
Jг_ _ |
|
— |
%с1)*) |
|
|
|
|||
|
ЧЫt r z *J-(Jогс. |
|
(У.36) |
||||||||
На малых дистанциях |
( |
|
|
где |
можно |
пользоваться |
|||||
лучевым методом, |
В ^ ф = |
|
|
|
|
, т .ѳ . корреляция |
на |
||||
этих дистанциях существует. |
На больших дистанциях { d |
» i ) |
|||||||||
мится к нулю. |
’ |
т *ѳ* |
|
к°РРеля«ия на |
больших дистанциях стре |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Автокорреляцию флуктуаций уровня или фазы можно рассмат ривать в двух случаях:
1. Два приемника располагаются вдоль прямой распростране
ния в точках |
с |
координатами |
0 |
, 0 |
) ' и |
( L ', 0 , 0 ) - папдоль- |
|||||
ная автокорреляция. |
|
|
|
|
х = |
L |
|
|
|||
2. Оба приемника лежат в плоскости |
на расстоянии^ |
||||||||||
друг от друга в точках (Л , 0 , 0 ) |
и |
(Л , |
О , |
О) |
- автокорреля |
||||||
ция поперечная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для автокорреляций в первом случае можно указать следую |
|||||||||||
щие закономерности. На расстоянии л |
L порядка |
радиуса |
кор |
||||||||
реляции |
о. |
показателя преломления как флуктуации уровня Я) R2 , |
|||||||||
так и Флуктуации фазы <56 Фх полностью коррелированы. С |
ростом |
||||||||||
л L коэффициенты автокорреляции Вя ~ |
|
; |
вф= |
> |
|||||||
( Вя = В ^= |
Л л ь р |
) убывают. |
Расстояние |
|
между прием |
||||||
никами, на которой: коэффициент корреляции уменьшается вдвое, |
|||||||||||
определяется |
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
к а |
|
|
|
|
|
|
(У.37) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя это выражение с выражением для волнового па |
|||||||||||
раметра |
d = |
^ |
. , |
можно сделать |
вывод о том, |
что продольная |
|||||
|
|
к а * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
автокорреляция уровней или фаз простирается на расстояние, в пределах которого пригодно лучевое рассмотрение. Это расстоя ние во много раз превышает радиус корреляции в среде.
Коэффициенты автокорреляций и Вф в случае попереч ной корреляции уровней и фаз определяются довольно громоздки
ми выражениями и зависят |
лишь от трех безразмерных параметров: |
|||
, d , k a . |
Коэффициент |
автокорреляции Вф в |
случае, |
когда |
>> / , |
, для |
флуктуаций фазы имеет |
Гауссов |
вид и |
совпадает с коэффициентом корреляций для флуктуаций показате
ля преломления |
|
. |
|
|
|
|
е |
|
|
я Ф = - < ? |
|
аЯ . |
|
(У.38) |
Вид коэффициента автокорреляции Вк |
для уровней |
отли |
||
чается от Гауссова распределения. |
|
|
||
В - е ° г[ і - 2 |
+ |
( £ ) * ] |
■ |
(У-39) |
128
Однако корреляция между флуктуациями уровня простирается на расстояние того же порядка, что и корреляция между флуктуа циями показателя преломления.
В случае d » / поперечная автокорреляция между флуктуа циями уровня и фазы также простирается на расстояние порядка радиуса корреляции неоднородностей в среде. (Ложно предполагать, что эта закономерность справедлива и для промежуточных значе ний волнового параметра d .
Проведенные экспериментальные исследования статистических овойств жидких и газообразных сред со случайными неоднороднос тями дали удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента, причем наиболее хорошее совпадение с эксперимен том дают результаты дифракционной теории.
§ 2. Распространение волн в твердой среде со случайными неоднородностями
Как видно из вышеизложенного, вопрос распространения волн в жидких к газообразных средах со случайными неоднород ностями довольно подробно исследован. В частности, особенно полно решена первая задача - определение характеристик поля по статистическим характеристикам неоднородной среды.- Проблема исследования распространения упругих волн в твердых средах со случайными неоднородностями значительно сложнее, что объясняется наличием в твердой среде двух независимых типов волн, а также значительно более сложной связью между парамет рами среды и характеристиками волновых полей. В связи с этим
теория распространения упругих волн в статистически неоднород ных средах только развивается, и в данное время исследованы некоторые частные вопросы, на которых мы остановимся ниже.
Сейсмическая "мутность" массива. Как уже было сказано, случайные неоднородности среды, которыми в общем случае могут быть отклонения параметров от своих средних значений, изменя ют форму распространяющейся в среде волны, модулируют парамет ры формы сигнала в широком смысле этого значения. Изменяя фор му сигнала, с^твда тем самым передает в сигнал информацию о своих упругих свойствах. Пр:-. этом поле акустических парамѳт-
129
ров |
(скоростей, |
амплитуд смещений или их линейных функций) |
|
состоит из двух |
частей - детерминированной, плавно |
изменяющей |
|
ся с |
расстоянием |
или постоянной в пределах слоя, и |
случайной, |
изменяющейся относительно быстро. Если среда статистически од нородная и изотропная (определение этого случая было сделано выше), то детерминированная часть поля сейсмических парамет ров постоянна. Случайная часть является источником информа ции о мелкой неоднородности среды и определяет важный параметр случайно неоднородной среды, так называемую сейсмическую "мутность".
В связи с тем, что реальные среды имеют весьма сложное строение, волновые процессы в них могут быть описаны достаточ но точно лишь для довольно простых моделей реальных сред. Сей смические наблюдения, даже очень подробные, позволяют опреде лить только некоторые интегральные значения поля акустических
параметров, которые соответствуют той или |
иной выбранной модели |
|||
реальной среды. Действительное поле параметров будет только |
||||
приближенно соответствовать выбранной модели. |
В связи с |
этим |
||
в наиболее общем случае неоднородностью, |
или мутностью |
( т .е . |
||
случайной компонентой поля параметров), |
можно считать |
все то, |
||
что отличает реальную среду от принятой нами модели. |
|
|||
Если подобрать модель и рассчитать для нее волновое поле, |
||||
то случайной компонентой |
поля смещений будет |
рвзница между |
||
наблюденными и расчетными |
полями. Если считать |
поля сейсмиче- |
||
сшиг параметров в трехмерном физическом пространстве случайнняи, тогда истинное поле в некотором объеме среды окажется адаДО из рашшшиаций случайного поля. Для того, чтобы получить другие реализации, следует выделить такие же объемы в других частях пространства. Следовательно, изучение структуры случай ного поля параметров должно производиться в пространстве: на пример, исследование однородной среды со случайными флуктуациями параметров можно осуществлять наблюдениями на продольном профи
ле, |
произвольным образом перемещаемом |
в пространстве. |
|
|
Рассмотрим безграничную однородную упругую среду, |
кото |
|
рая характеризуется скоростью распространения упругих |
роли |
||
(все |
равно - продольной или поперечной) |
с ѵ â С и я'Ы'’ктцннмм |
|
коэффициентом поглощения |
. Здесь |
е и оі |
— средние |
постоянные значения параметров, |
а â'c |
-флуктуация |
скорости |
распространения - случайная величина, среднее значение которой равно нулю. В реальных средах скорости продольных и попереч ных волн и плотность сильно норрелированы,причем относительное изменение плотности гораздо меньше,чем скорости. Поэтому функ
ция â~с |
дает достаточно полное |
описание |
неоднородности. Счита |
|||||||||
ем, |
что |
случайное |
поле S c ( х |
,у |
к |
) однородное и изотропное. |
||||||
Предполоним, что в направлении |
распространяется |
плоская |
||||||||||
монохроматическая |
волна частоты |
/ |
с |
постоянной |
амплитудой |
|||||||
в плоскости X |
= ccf ,равной А х |
|
. В |
плоскости x f |
+ а |
х амплиту |
||||||
да волны будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
У - А Х ^ Х , * - А Х + |
|
|
|
|
|
|
||
где |
А х |
|
- |
детерминированная |
компонента |
поля |
амплитуд, |
|||||
являющаяся средним |
значением функции А |
в |
п л о с к о с т и а х ; |
|||||||||
|
^ ^.-случайная компонента, |
вызванная рассеянием на неод |
||||||||||
нородностях на |
расстоянии А х |
; |
ее |
среднее |
значение |
в плоско |
||||||
сти фронта равно нулю. |
|
' |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Обозначим квадрат амплитуды А |
через |
U |
и будем назы |
||||||||
вать эту |
функцию энергией волны. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
При распространении волны на а х |
энергия |
детерминирован |
|||||||||
ной компоненты волны изменяется по причине рассеяния на величи ну
|
l/ = UX,- UХ'+АХ |
|
А X , |
(У.40) |
||||
Эффективный коэффициент поглощения |
состоит |
из двух слага |
||||||
емых: |
|
оі |
|
= оі„ у- о і- |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
Э<Р |
|
П |
|
Р > |
|
|
оір - |
коэффициента |
рассеяния |
и |
оіп - истинного |
коэффициента |
|||
поглощения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В связи с этим и изменение энергии а W состоит из двух |
||||||||
слагаемых: |
U = |
А |
|
у |
а |
ІУр , |
|
|
|
л |
|
|
|||||
где |
а £/,=<*„ ■ух |
а х ; |
|
А |
и . |
' оіА* Ж / г\ |
я: |
|
ІЗГ