Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

Переходя в выражении

(У.41) к пределу п р и А х -~ с >

,

ин­

тегрируя от x f

до х , можно получить известное

соотношение

-(#. ~Л„)(Л - Х )

1 (У Л І)

В плоскости

а ж

полное изменение

энергии волны

вследствие рассеяния на неоднородностях А U

болыві

среднего

значения случайной компоненты энергии

S U

,

так

как

чаоть

рассеянной энергии отражается назад. Этот

эффект

можно учесть

с помощью введения коэффициента направленности т :

éru= гл

АХ,

X>

r > J . .

(Улг)

При у =

рассеяние

вперед и назад

одинаково,

у

-

I

о

(рассеяние назад отсутствует) соответствует случаю, когда

преобладающий размер неоднородностей больше длины волны,

а

скорость изменяется довольно слабо, при этом акустичеокая

энергия, идущая по лучевой трубке, постоянна.

Таким образом, энергия случайной

компоненты пропорцио­

нальна энергии породившей ее детерминированной части поля и

толщине слоя а х :

(Ч • <хр ) ( х - х , )

еУ1/х (х , х - г а х )=у а х

9

(УЛЗ)

где

При распространении волны к плоскости х = х г

часть

акргни случайной компоненты поглощается средой, часть рассеи­

вается назад:

(*-■*.)

.

(ъ -* ,)

=

у и ( x , x t - A x ) ~ t } A x их е

е

'

'

(y.W )

ностью, для

которой

і

* т .ѳ . рассеянная энергия мень­

ше, чем U .

При этом,

если толщина отдельных рассеивающих ма­

лых слоев а

х имеет

порядок корреляции неоднородности, то

происходит

сложение энергий,

рассеянных отдельными слоями а х .

Считая, что суммирование энергий справедливо

при любом

а х , энергию случайной компоненты в плоскости

, рассеян­

ную между плоскостями x f

и х* ,

найдем, суммируя энергии,

рассеянные элементарными

слоями а

х .

â"

( x ft х г ) —ff ( х г

ъ

)

lfx^ _

(У.45)

Таким образом,

энергия

случайной

части волнового

поля

пропорциональна толщине слоя ( х , -

х г

)

и энергии породившей

ее

детерминированной части

поля на

границе

х = х £ . Коэффици­

ент

пропорциональности ff

характеризует

акустическую мутность

он может

быть равен энергетическому коэффициенту рассеяния

•

когда

<Г

= I , или амплитудному коэффициенту рассеяния

- х -

при у

=

— .

Выражение (У.45) можно обобщить на случай, когда

пара­

метры

,

и ff

произвольно изменяются в направлении

х

:

-----

*'

/*•*

( x ) d x

£ U-x,(sc' lX*) = g lfx< е

■fg(x)dx=‘uxJ f f ( * } lix >

- средняя э: ергия

х,

*•

где

„ лучайной компоненты поля смещений;

ё - постоянная,

учитывающая

изменение

энергии сейсмической

Рассмотрим слоистооднородную среду,

разделенную достаточ­

н а гладкими (нешероховатыми) границами, В

точке

О

расположен

излучатель, в точках Л )

и

,

лежащих на

одном луі|ѳ,

-

при­

емники. Обозначим через U

( Л ) )

и

U (Л £ )

-

энергии

детер­

минированных компонент поля

в

точках

M t

и

Мг ,

а

через

), â u ( Л £ ) - случайные

компоненты энергии

в

^тих

же

точках.

На основании выражения (У.46) запишем

н*

________

Ht

_______

f f u ( M , ) ~ u ( M t ) /

p

d

i

J

у de ,

Это можно сделать,

основываясь

на двух предположениях. Пѳрвоё:

принимается некоторая

гипотеза

об общем виде амплитуды Л м ,

соответствующем выбранной модели среды, затем определяется

конкретный вид

из

того условия, что амплитуда^должна

наименее

сличаться

от

оощѳго наблюденного

поля

А м . Функцию

А „ считаем^ детерминированной

частью поля,

а разность двух

функций

(А м — А „

) -

случайной ч а с т ь ю А „ .

Второе

пред­

положение более

общее:

детерминированная часть

поля А„

из­

меняется

более

плавно,

чем случайней часть

поля

*

и их

Коэффициент

мутности

д

сильно

зависит

от

частоты

коле­

бании £ . Так,

в крайних

случаях

при

/ - * о

^

и? ,

а

при

£ — ■=— у. —

. Поэтому

при

определении

иутности

среды

более

удобен

второй способ.

Причем для определения ä U

(Af )

и U

( М )

удобнее оперировать не формой волны в целом,

а ка­

кими-либо

ее параметрами, например амплитудами.

Рассмотрим более обі^ий

(второй) случай разделения

поля

на ö

I f и

U

по характеру

их изменения.

Предположим, мы имеем результаты профильных измерений

оси

X

декартово? системы координат

( . - г , у , я ) .

В

простран­

стве

распространяется волна A (M t -t) = А

+ А А (М , é). Вблизи начала координат

ее детерминированная

часть

представляет собой

плоскую волну

А ( і - ■*А * - ѵ/Су - z / c B ) .

Функция А

( О,

О , О %t )

имеет экстремум в момент t

=

Проинтегрируем функцию А

по характеристике

/ с х

около

точки

л;,

в пределах от і ¥- ( х ^ х ) / с х до

і , -

( х - Х ) /с х

{ X

~

интервал

корреляции

случайной компоненты поля в направ­

лении я : ) .

Причем продольный интервал

корреляции

случайной

ет величину З а /х .

t если длина

волны

Л

мѳньвѳ размера не­

однородности а

,

и порядр длины волны -

для малых неоднород­

ностей.

і - ( х , * Х ) с л

X ,

j А (é '-y ,!6v

*Ісг ) с І і '= ~ - f

 ( t<

+ х/сй - y / c y - z / c j d x ' -

*r(*,-х)сл

xr sX

= а f r ) + h J

" у ! су ~ г / с* ) Ы х '-

x, -X

нулю, поэтому детерминированная компонента поля в точке

про­

филя х і определяется орѳдним значением

амплитуды волны,

взя­

тым на учаотке профиля

( x f - X , x f + X ) :

х,+Х

A ( x <) = J x

J А

( і , + х / с х -і//су

- z / c ^ j d x ' .

(*.48)

На основании (У.48) можно получить отношение энергий де­

терминированной

и случайной компонёнт

через амплитуды волны.

Ѵ ( х <)

[ А (X,)] 2

'J

^

I

- * z ) d x f d x ‘

l é i J a

(*<

- * /с л

) < * * ] '

Окончательно

•Яу-Jf

L f ( x j

А * ( х ,)

(У.49)

где знак

j?

- знак дисперсии.

Исходя иа

полученной формулы (У .49), можно дать

методику

определения коэффициента мутности

среды

g

по

полученным

экспериментальным ампли удным данным:

графика А

( х

1) сглаживание экспериментального

), т .е .

получение

детерминированной части

поля Л

(х ) ;