Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

кулярно к границе раздела.

Поле смещений в неоднородной срѳ-

де будет

значительно отличаться

от поля смещений в двухслойной

однородной среде ввиду много­

кратного

рассеяния каждой

из

сфер и интерференции рассеянных

и прошедшей волн. Выделим в по­

ле смещения неоднородной среды

только ту

часть, которая пред-

Рио. 8. ІІодѳль микроиѳод-

отавляет

ообой плоскую продолъ-

нородной среды

лим потенциалом

.с о

У>= у>

е ‘ С/"

,

где cp t - окорость

продольных волн в среде ( I ) ,

Поле вблизи частицы, расположенной в любой точке неод­

нородной среды (

х 0 ,

У' ,

z o ), складывается из суммы сме­

щений падающего

.юля и суммы полей,

рассеянных всеми осталь­

— л '

д

■

' - oV

У=А Ѳ 2

S in

-рг~r • Z

/

â>

(О

(П.4)

S i n

~C~J

Ч > ~В д/>

Касательные

UB

и нормальные

Ux

смешения,а также

нормальные <оХі

и касательные

Ttg

напряже"ия выражаются

через потѳнциалы_оледующим образом;

ие '

/ З У ,_ L p l~ £ 2 > .

*

дѲ

э г

’

(П.5)

9 !f

/

9 у

COS Ѳ

V ,

~Т~ дѲ + 2Гs i n Ѳ

V и„

<51

(П.7)

и , = ^

х = к

Выражая ив1 ,

а г{ , е гхС

, Zx e i

черев потенциалы с

помощью выражений (П .І),(1і.4)

и (П.5)

и подставляя их значе­

рех уравнений относительно неизвестных коэффициентов

А В ,

А ' , В \

неоднородностей /?

Если предположить,

что радиуо

иного

меньше,

чем длины продольных и поперечных воля во вмещающей

среде,

или

;

- р - к «

/

,

то,

реяая подучен­

ную сиотѳму уравнений относительно А и

В

,

можно получить

следующие выражения:

^

ы г / _

.

„ у э у

tf);

(П.8)

со

О*+JV, f ) ,

-

сложные

где ^ = —

a*.

Г“ т~

R »

P <Qc> Q*

4

‘ /V

-

сложные

Подотавляя выражения

(П .8),

(П .9),

(П.ІО) в уравнение

(П .ІІ),

после некоторых упрощений С 9 J

можно получить интегральное

уравнение для

потенциала Ѵ’

я

9Z.

d r ­

-

T

L cp/" / (®'дг

Щ Ra r * ' 9Z* e

dS+-3d(Pée y

h

3Z_ *-M / f 9SX'

(IJI)

где

_/

4 Я R 5

-

отношение

объема

частицы к

объему

a

= —j y

s —

окоужающей среды;

V

= n s

%

п

-

число

периодов

S

от плос­

кости частицы

( х 0 , уо ,

z 0 )

до

каждой другой частицы.-

Уравнение (П .І2) определяет

полное

поле в точке (гс„,

уо ,

z g ) .

Первый член уравнения (П .І2) соответствует

падаю­

щей неискаженной волне,

остальные

члены учитывают влияние

частицы,

расположенной в точке z

= г с , и определяют отражен­

ную волну.

Интегральное уравнение (П .І2) после замены дифференци­

рования

по

z o

дифференцированием по V"

и после интегриро­

вания каждого интеграла дважды по частят подвергнем действию

оператора:

. _

S’*

сОг

* г о

с *,

'

В

результате

этих

операций интегральное уравнение

(П.І2) можно привести к виду дифференциального уравнения от­

У * d [ 0

Ң - л/

.( М +N, ?...) ] - О..•*/. (П.ІЗ)

носительноѵ і я

¥Jr

•

.

g

Г

л

j ^ I - d (Зр ѵ-Qf

Щ * { э М Щ ^ 2 Л ? У } *

У = В ¥п

(П .І4)