Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

стеме .координат соотношения между составляющими векторов D и

Е для анизотропных

сред более сложны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д е в я т к а чисел в,•tj

называется

тензором.

 

Тензор

записывается в

виде матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}zx SZy

zzz.

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор является обобщением с к а л я р а и

вектора.

С к а л я р — в е ­

личина,

которая

характеризуется

одним

числом, и дл я его

описа­

ния не требуется

никаких индексов. Вектор — величина,

которая

характеризуется

тремя

числами

(тремя

координатными

составля­

ю щ и м и ) ,

и для его описания требуется

один индекс

(х или у или

z). Т е н з о р — в е л и ч и н а ,

которая характеризуется девяткой

чисел, и

д л я его описания

требуется два индекса

(хх

или ху

или yz

и т. д . ) .

Соответственно скаляр - тензор нулевого

 

ранга,

в е к т о р — т е н з о р

первого

ранга, а

тензор диэлектрической

проницаемости — тензор

второго

ранга .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензорами могут являться и магнитная

проницаемость

[х и про­

водимость а. Если

хотя бы один из электрических параметров

е, \і, а

является

тензором, то среда анизотропна.

 

 

 

 

 

 

П р и м е р а м и анизотропных сред являются кристаллы, ионосфера-

Тензор диэлектрической проницаемости, как, впрочем,

и

тензо­

ры \l, а как будет показано, — симметричный

тензор, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

Это означает, что тензор диэлектрической

 

проницаемости

в дей­

ствительности характеризуется не 9, а лишь 6 различными

числами.

3. Однородные, неоднородные и другие среды

Однородной называется среда, у которой электрические

парамет -

метры не зависят

от координат. Так, в случае

изотропной

среды

е = const,

^ = const, о = const. В случае

однородной

анизотропной

среды все

составляющие тензоров

электрических

параметров

не

д о л ж н ы зависеть от координат.

 

 

 

 

 

 

Неоднородной

называется среда,

у

которой

электрические

па­

р а м е т р ы зависят

от координат или хотя

бы один

из параметров за­

висит хотя бы от одной координаты.

22

П р и м е р ом неоднородной среды может служить атмосфера . Среды бывают линейные и нелинейные. Линейной называют

среду, у которой электрические параметры не зависят от величин

векторов

электромагнитного поля.

Нелинейной

называют среду,

у которой

электрические

параметры

зависят от величин

векторов

электромагнитного поля.

Примером

такой среды

может

служить

ферромагнетик, у которого магнитная проницаемость зависит от величины напряженности магнитного поля.

В принципе все среды нелинейны, однако эта нелинейность про­

является при очень больших величинах

векторов поля.

4. Среды с проводимостью — время

релаксации; комплексная

диэлектрическая проницаемость

Среды, о б л а д а ю щ и е проводимостью, характеризуются еще производным параметром — временем релаксации . Получим этот параметр:

J=oE (полагаем a—const);

div J + 1 = 0 ;

 

 

d l v E = —

(полагаем e=const).

 

Из этих трех соотношений

находим

 

Р е ш а я

это уравнение

дл я фиксированной точки,

находим •

 

 

 

 

 

 

 

t

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Po — н а ч а л ь н а я

плотность

з а р я д о в ;

 

t =

—время

релаксации; оно показывает,

ка к быстро рас ­

текается скопление зарядов плотностью р0 в среде.

Например, для :

 

 

 

 

 

 

— меди о ~ 1 0 7

—

,

е = 1 ,

 

 

т ~ 1 0 - 1 8 < : ;

 

 

 

 

 

 

 

— морской

воды

а=4

^

, s=80,

 

х = 2 - 10 - 1 0

с;

 

 

 

 

 

 

— стекла o = 1 0 ~ 1 2 ^ <

е =2 ;

 

23

т = 2

0

с;

 

 

 

— к в а р ц а б = 1 0 - п

Щ-,

е = 2 ,

х=2-

 

106 с ^ 2 5

суток .

 

К а к

 

видно из

этих

данных, в металле скопление зарядов почти

мгновенно

растекается

и оказывается на поверхности проводника.

Д а л е е заключаем, что

чем лучше изолятор, тем больше в,ремя ре­

лаксации .

 

 

 

В настоящем

курсе

лекции мы будем изучать теорию электро­

магнитного

поля

применительно только к линейным средам . В этом

случае уравнения М а к с в е л л а линейны. Поэтому зависимость от времени здесь удобно представлять при помощи временного мно­ жителя е ы . Так что л ю б а я величина, х а р а к т е р и з у ю щ а я электро­ магнитное поле, представляется в виде произведения функции ко­

ординат и указанного временного

множителя . При этом

функция,

з а в и с я щ а я от координат, может

быть и

комплексной.

Значит

функции, зависящие от координат в теории

электромагнитного

по­

ля, могут одновременно быть и векторными,

и комплексными.

На ­

пример,

 

 

 

 

Е ( х , у , г , 0 = Е ( л , у , г ) с ' ^ ,

 

 

 

т. е. здесь Е(х, у, z) — векторная комплексная функция координат:

Е ( х , у

z ) = x ° | £ ; r ( x , y , 2 ) | e W ' * * ) + у 0 Еу(х,у,г)\е>^х-У^

+

 

 

+ г 0 | £ г ( х , у , г ) | е ' ^ у . г ) і

 

 

где \Ex[x,y,z)\

.. — модуль, а

ср,(.г,£/,2)...—аргумент или

фзза

к о м ­

плексного числа Ех[х,у,г)

и

т. д .

 

 

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

т. е. производная по времени

есть оператор умножения

на /ш,

у р а в ­

нения М а к с в е л л а запишем в

виде

 

 

 

I .

r o t E = - / ' i u B ;

 

 

 

П.

r o t H = J + /(DD;

 

 

 

I I I .

d i v D = p ;

 

 

 

І\Л

d i v B - 0 .

 

 

П о л а г а я во втором уравнении

J=*E, D =ea E, м о ж е м его представить в виде

r o t H = / a > ^ 0 - / ^ - J E .

24-..

С р а в н и в а я это уравнение с . уравнением в случае диэлектрика

(а=0)

т. е. с уравнением

 

rot Н = / ш е я Е ,

(7)

видим, что целесообразно ввести в рассмотрение комплексную ди­

электрическую

проницаемость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е ' =

 

в„—/—

 

 

 

 

 

 

 

и написать

 

 

 

 

 

rot Н=/и>ея Е.

 

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнива я уравнение (8) с

уравнением

(7), видим,

что

фор­

мально уравнения в случаях офО

и

<з=0

не

отличаются

 

друг

от

друга. Это

обстоятельство,

как

увидим далее,

приводит

 

зачастую

к значительным

 

упрощениям .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, диэлектрическая

 

проницаемость,

как

впрочем и

магнит­

ная проницаемость,

может

быть

комплексной

величиной.

 

В

связи

с этим заметим,

что

тензор диэлектрической

проницаемости

в

об­

щем

случае

удовлетворяет

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ = Ѵ

 

 

 

 

 

'

 

(9)

(Звездочка означает комплексно сопряженное число) .

 

 

 

 

Тензор, обладающий этим свойством, называется эрмитовым

(по

имени

ученого

Э р м и т а ) .

Следовательно,

симметричность

 

тензора

(равенство

(6))

 

вытекает

из условия

(9).

 

 

 

 

 

 

 

В

радиотехнике

параметры

е, <з,

ц многих

сред почти

не

зависят

от частоты. Т а к а я зависимость

начинает сказываться лишь

в

самой

коротковолновой

части спектра

радиоволн.

 

 

 

 

 

 

В оптическом

диапазоне

волн

s и а зависят

 

от частоты,

 

т. е. име­

ет место дисперсия.

ЛЕКЦИЯ 5

ГР А Н И Ч Н ЫЕ УСЛОВИЯ

1.Смысл граничных условий.

2.Граничные условия для векторов D и В.

3.Граничные условия для векторов H и Е.

4.Преломление векторных линий электромагнитного поля на границе раздела сред.

1.Смысл граничных условий

Вуравнениях М а к с в е л л а фигурируют векторы и источники

электромагнитного поля. Но непосредственно в них не фигури­

руют параметры среды

. Следовательно,

уравнения Максвелла

справедливы для

сред с

любыми п а р а м е т р а м и и в том

числе на

границе раздела различных сред. Однако на границе эти

уравне­

ния принимают

специальный вид — они

формулируются

в виде

граничных условий. Эти граничные условия мы далее и хотим по­

лучить.

 

 

 

 

 

 

Если

среда однородна, то на воображаемой

поверхности

внутри среды как нормальные т а к и тангенциальные

составляю ­

щие

векторов поля будут

меняться непрерывно

при

переходе

че­

рез

эту

поверхность.

 

 

 

 

 

Если

ж е это граничная

поверхность между

двумя

средами

с

различными" электрическими п а р а м е т р а м и , то заранее

ниоткуда

не

следует,

что эти составляющие будут меняться

непрерывно.

Ап­

риори неясно, какие составляющие векторов поля должны

меня­

ться непрерывно, а какие составляющие могут терпеть скачок

(раз­

рыв

непрерывности).

 

 

 

 

 

Чтобы получить ответ на эти вопросы, мы воспользуемся тем

обстоятельством, что в действительности нет резкой границы

меж ­

ду двумя различными средами с различными электрическими па­ раметрами . Имеется некоторой толщины переходной слой, внутри которого электрические параметры меняются непрерывно от их значений в одной среде до их значений в другой среде. Поэтому внутри слоя, как и вне его, справедливы уравнения Максвелла .

Резкую границу, а равно как и формулировку уравнений Мак­ свелла на границе, т. е. граничные условия, мы получим путем пре­ дельного перехода.

26

Смотрите также файлы