Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

Т е п е р ь

л е г к о

н ай ти

х а р а к т е р и с т и к и

сл у ч а й н о й

ф ункции

т)

(/),

а и м енно ,

m,t (г)

= 1 — c o s

/

+

ME,

(/ -

s in

t)

+

ME., (Р +

2 c o s

t - 2)

+

-(- M Ti (0) c o s

t

-f- Mt['

(0)

sin

i =

1

—

c o s t + c o s t +

2 sin

l =

==

1

4- 2 sin t ;

ATj (/0

/,)

=

(7,

sin A) Dc[ -f

(t\ -f-

2 cos

— 2)

(t~> -j-

-f

2 cos t.,

— 2) DE., +

cos

cos t., D-f,(0)+sin i xsin t,

DV(0) =

=

(A--sin A) (A - sin A) + 2 (^i + 2 cos

— 2) (^2 + 2 cos A—2) +

+

2 cos /, cos

-|- 4 sin /, sin Aj ;

Dn (0 -

AT, (/,

t)

=

(t

-

sin t f

+ 2 (f- -I- 2 c o s l -

2)- +

+ 2 c o s '-1 4 4 s in 2 i .

Упражнения

1.

Задан случайный процесс

Q(t) - t, / + S2 Р ,

где

и

— независимые случайные величины, имеющие по­

казательное распределение

Л

W

0

при

х < 0

,

—J...V

при

л: >

0

С

1

К

(х)

0

при

х < 0

,

х2

при

х >

0

Найти одномерную плотность распределения процесса £(£).

О тве т:

fi

(*;

О

t (Х2

X,)

(б

~ Г Х.

) ,

(х >

0,

t > 0) .

5 ( 0 = 5,

+ ?2 в"' + t2 ,

где ?i и

— некоррелированные случайные величины, при­

чем £i распределена по закону Пуассона с

параметром

X, а £3 — по нормальному зако­

nii (/) =

+ ае~'

t- ,

Ki (/,, Q =

+

a’

,

D: (/) =

le

~2C~+

o- e~2/.

4.

Найти

математическое

ожидание

и корреляционную

функцию случайного процесса

![ (/) =

3

cos «>/ | 5 i.j Г-

-|- 8 ,

где

со = const,

Е, и

— случайные величины с

/Ис, = 2,

Л?с2 =

3,

DE,

=

1,

DE, =

4

и

/-^ =

0,8..

О т ве т :

т,\ (/) =

6 cos соt -|- 15 t-

+

8 ,

Ki

(/,,

t.,)

— 3 cos to/, cos co/2

+

20 t2 /; +

+

24

{!\ cos u>/2

-I-

t\ cos ш/,) ,

Dt (/)

=>

3 cos2 со/ + 20 /•*

-|- 48 t2 cos ш/ .

5.

Математическое

ожидание и корреляционная

функция

случайного процесса I (/) заданы:

пц (/)

=

2 / + 3,

Ki

(/,.

/2) =

4 /, /2 е~'г '2 .

Найти характеристики случайного процесса

I

(/) = 3 / 5 (0

+

2 /2 -

7 .

Будет ли процесс

rj (/)

СК непрерывен?

О т ве т :

/я, (/) =

15 /2 +

9 t -

7 ,

/С, (*i, /2) =

36 /? й е "^~‘2 ,

D,

(/)

=

36 /<

;

процесс

v)

(/)

С/С непрерывен.

6. Характеристики случайного процесса ? (/) заданы

/я«'(0 = t2 +

2 / +

4,

/Се (*lf /2)

.

ч (0 =

d l (t)

dt

пц ( 0 = 2 7 + 2, /Се (t„ to) = 4 /, U

,

чайный процесс

£ (0 с математическим ожиданием

we (0

=

3 sin «7

и корреляционной функцией

^

(0,

0 )

=

4 е

2 .

Найти характеристики

процесса

г, (()

па выходе устройства.

От ве т:

тп (/) = 3 со соз ш7,

Кц (0> t.>) =

4 е

2

[1 — (/, — О)2] ,

D , (0 = 4 .

8. Характеристики случайного процесса

S (0 известны:

/щ (0 =

72 + 4 7,

(0 ,

to)

= /, /2 + /; 0 •

Найти характеристики случайного процесса

4 (0 ■= f

rf2 £ (О

+

t !-

1 .

dt2

О тв ет :

■q (0

= 1 -

е~‘ -

t e-t +

0,5

(1 — е -'2) +

+

0,25

§2 (1 -

е~2' -

2 £ е~2') ,

(о

=

te~* -

4 "

- т e ~ 2 t - т 1 е ~~‘ *

^ (Л, Л)

=

(1 - ^ (1

-

е“'2) +

0,5 (1 - <Г25 -

— 2 /, е-21!) (1

— е-2^ — 2 t2

е~ 2'г) ,

£>ч (0

=

(1 — е -'2)2 +

0,5 (1 -

е~2' -

2 / е~20 2 .

10.

На вход динамической системы, работа которой опи

вается оператором,

( 0

=

2

е ‘,

К(.

( 0 ,

0 ) —

^ 1+<2 •

Н а й т и х а р а к т е р и с т и к и

с л у ч а й н о г о

п р о ц е с с а

т]

(t)

н а в ы х о д е

с и с т е м ы .

О т ве т :

т-ц (t)

=

2

t

( е {

—

1)

+

t2 ,

К п (tlt

t2) => 4

ty t2 {\

—

e'i

+

^

e 'i) (1

—

e'» +

t2 e 's) ,

£ Ц . ( 0 = 4 f 2 ( l - e ' + Л е ' ) 2 -

11.

Н а в х о д д и н а м и ч е с к о й с и с т е м ы , р а б о т а к о т о р о й о п и

в а е т с я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м

у'

(t) +

2 t

у (t)

=

х (t) ,

п о с т у п а е т сл у ч а й н ы й п р о ц е с с

£ (£ )

с х а р а к т е р и с т и к а м и

т

(t)

=

Л

ЛТ$ ( Л , Л )

= t x t 2 .

Н а й т и х а р а к т е р и с т и к и п р о ц е с с а f) ( Л н а в ы х о д е с и с т е м ы

при у с л о в и и , что

~q ( 0 )

=*

1

—

не с л у ч а й н а я вел и ч и н а .