Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

тъ (t) =

-j-

(1 4

е r

)

,

K ^ t u t.^) =

I

- f i - P -

/ 2

-

t 2

~ e

« *(e>

l ) ( e 2 - l ) ,

Dn{t) =

- 1

е- з г ( / _

1)2.

процесс

? (t)

= £ sin 2£,

где

? — нормально распределенная

случайная

величина с параметрами

а = 2, а =

5 V 2. Найти

процесс т)

(/)

на выходе

системы и его характеристики, если

работа

системы описывается дифференциальным уравнением

У" ( 0

+ 3 /

(t)

+ 2 y ( t ) = x ( t ) ,

причем т) (0) = 2

и

V (01— 3 — неслучайные величины.

О тве т:

I (0

=

—

------

у -

е_2‘

------ ftp

c«s 2 t -------

fo~ sin 2/ +

+

— т

е _ и—

^ ~ c o s 2 ^ — ^0“ sin2^ ^ ~ 2);

Щ ( 0

“

~ y -

------ ------------------- cos 2 / -------------

щ- sin 2 t\

A .(0 = so (-§-

e •/-_ .L g-211

—

20

cos 2 /-

sin 2/

20

всех сечений Е (£,)>

? (г.,),

Е (fs)

С ) на одну и ту же

величину

т.

Это означает, что «-мерная функция распределения стацио­

нарного случайного процесса

Е (0

при любых п и г

удовлет­

воряет условию

F n (хи х2

,

, хп\

t{,

(2 ,

, tn) =

= Fn (JCj,

х2

, . . . , хл;

t

x +

х,

t2 +

-с , . . . , tn +

т) .

(1)

Отметим некоторые свойства стационарных случайных про­

цессов.

Е (t) — стационарный в точном смысле

Если

случайный

процесс,

то по определению

/у (х ; t) = F, (х ; / + т ).

Полагая

т = —t,

получаем

F x(х, 0

=

F,

(х;

t — t) =

F j (х)

,

(2)

т. е.

одномерный закон распределения процесса Е

(t)

не зави­

сит от времени.

закон распределения

процесса

Покажем,

что двумерный

Е (t)

зависит не от четырех аргументов х ь х2,

t\ и i2,

а только

от трех: хь Хг и разности t2—1\.

Действительно, полагая в равенстве

F 2

(Х „

Х2,

t xt

t y )

■—

F о (Xj, X2,

-j- w,

t-y

x)

t = — tu п о л у ч а е м

Fo ( x ], A2>

^2) —

F*2 (X „

X.,,

/j

/j,

^2

= F

( x , , x 2;

/3 - г1, ) .

(3 )

П р и т — — 1\ д л я л ю б о г о « - м е р н о г о з а к о н а р а с п р е д е л е н и я

п о л у ч а е м р а в е н с т в о

F„ (xj,

Х2 , . . . , х„,

0У t 2

Л 1 •••»^/г

*

v4)

Е с л и с т а ц и о н а р н ы й

в у з к о м с м ы с л е с л у ч а й н ы й п р о ц е с с и м е ­

ет в с е « - м е р н ы е п л о т н о ст и р а с п р е д е л е н и я , то , к а к э т о с л е д у е т

из ф о р м у л (2 ) — ( 4 ) ,

Л

(**.

0

=

f i (*;

0 )

( х ) ,

(5 )

f 2 (х^, х 2; /j, t 2)

”

f i

( - Л ’

x2y

t2

=■ f 2 ( X j , x 2, x ) ,

( 3 )

/ «

( * 1 , -Vo , .

. . , V„,

/(,

Z?o)

••. K) =

= f n (*P

*2 •■. .

, JC„; 0,

^2

— t,

------tn ~ t , ) ■

(7)

(t) = 1 ’ x f x(х- t)

dx =

j

x f x (x) dx = тгц, ,

—

c *

—

e-o

D? (0

=

^ (jc-

nv.(t.))-f{{x\

t ) d x = j

(x —mi)1f x(x)dx = D £.

— CC

—

CO

Найдем корреляционную функцию стационарного в узком

смысле процесса:

*0

••

K\[tu

ti) =

[

j

(xx—mi(tx))(x2—mc(t2))f2(xXlx2\txJ 2)dxxdx2 =

j

(х, — mi) (хо — mi) fo

(хи

х 2;

t2 — tx) dXi d x 2 =

oo

— mi) (x3 — mi) f 2 (x lt

x2;

x) dx1 d x 2 ■= fa (x) ,

=

I

j

(V2

— oo

— oo

в узком смысле процесса £ ((). Если даже

( £)’= const,

D£(/)=const и

Ki (ty,

t2) — K i ( t 2—1\),

то из этого еще не

следует выполнение, например, равенства (4).

Оставаясь в

рамках

корреляционной

теории, изучаем

ционарного случайного процесса.

1. Если

5 (/) — комплексный

стационарный

случайный

процесс, то

Ki (*„ t2)

= K i { t 2, t,) =

Ks (t2 -

f,) = Кг [ -

{U - f j]

или

ki (x)

= ki ( — x) ,

(8) .

Для вещественного

стационарного случайного процесса

Ki (tu f2) -

K i (t2 -

= Ki (/, -

t2)

или

ki (x) =

ki (— x) ,

(9)

Ki (/, t) = Ki

= h (0) = Di

( 10)