Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

т. е. значение корреляционной функции стационарного процес­ са при т = 0 равно его дисперсии. По этой причине в опреде­ лении 2 мы не требовали условия постоянства дисперсии.

ются стационарно связанными, если их взаимная корреляци­ онная функция AV, (^ь h) зависит лишь от разности аргумен­ тов t2—t\ = т:

К-ц (/х, /■>) — Кат, (t, — А) ~ Кхч (т) .

Очевидно, что для стационарно связанных случайных про­ цессов выполняется условие

стационарно связаны, то, как нетрудно убедиться, процессы

будут стационарными. Для этого достаточно вычислить кор­ реляционные функции процессов Tjj (0 и т)2 (£)•

широком смысле, то они могут и не быть стационарно связан­ ными.

Будем заниматься преимущественно стационарными в ши­ роком смысле процессами и лишь в отдельных примерах указывать на роль стационарности в узком смысле. Поэтому в дальнейшем, не подразделяя каждый раз эти два понятия, попросту будем говорить «стационарный случайный процесс».

Приведем примеры стационарных случайных процессов. Пример 1. Случайная гармоника

§ (t) = A cos {Ы -ф- <р)

60

является стационарным случайным процессом, так как ее ма­ тематическое ожидание /я$ (t) = 0, а корреляционная функция

Ki (У,, t-,) = — о2 cos со (/, — /,) = a- cos шт , (о2 — М Л 2)

(см. пример 2 § 4, гл. I) .

Очевидно, что и сумма некоррелированных случайных гар­

Если стационарный случайный процесс модулировать ка­ кой-нибудь неслучайной функцией <р(£), то получим неста­ ционарный процесс. Действительно, пусть £ (/) — стационар­ ный случайный процесс и ® (t) — неслучайная функция, от­ личная от константы. Тогда процесс

•4 (0 = «р(0 5 (О

не будет стационарным, так как

тУ) (t) = © (t) тс ф const,

(tu /•;) = ? (А) ? (А) /Г? (А - /,) Ф К, ((о - А) •

Пример 2. Случайный процесс £ (0 . рассмотренный в при­ мере 4, § 4, гл. I стационарен. Его математическое ожидание 1Щ = 0, а корреляционная функция

Пример 3. Комплексная случайная гармоника

i (t) = ;е,ш/

является стационарным случайным процессом, так как

61

Сумма некоррелированных комплексных случайных гармо­ ник также будет стационарным случайным процессом.

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим основные линейные операции над стационар­ ными случайными процессами: дифференцирование, интегри­ рование, а также действие произвольного линейного операто­ ра на стационарную случайную функцию £ ((). В главе I все эти операции рассматривались для произвольных случайных процессов. Как будет показано, для стационарных процес­ сов линейные операции намного упрощаются.

Предварительно отметим, что условия СК непрерывности для стационарного процесса значительно упрощаются по сравнению с этими условиями для произвольного случайного процесса. Для СК непрерывности произвольного случайного процесса £ (() при любом t е (— со, оз) необходимо и доста­ точно, чтобы его математическое ожидание mi (() было непре­ рывной функцией при всех /, а корреляционная функция была Kz (ti, t2) непрерывной на прямой t2 = t\. Математическое ожи­ дание стационарного случайного процесса вообще не зависит от времени и, следовательно, будет непрерывной функцией при всех — о з < t < 0 0 , а корреляционная функция зависит толь­ ко от одного аргумента т = ^2—1\.

Поэтому для того чтобы стационарный случайный процесс

Как было показано в § 5 гл. I, для дифференцируемости про­ извольного случайного процесса необходимо и достаточно, чтобы его математическое ожидание было дифференцируемой функцией и существовала вторая смешанная частная произ­ водная от корреляционной функции. Если ? it) — стационар­ ный случайный процесс и

ч .

62

то

dtrii

Ki (z). Можно показать, что для дифференцируемости при всех t стационарного случайного процесса £ (t), необходимо и достаточно существование второй производной его корреляци­ онной функции только в одной точке т = 0 . Тогда K i( z ) бу­ дет дважды дифференцируемой функцией при всех z и, если положить

цесса имеет постоянное математическое ожидание, равное ну­ лю, и корреляционную функцию, зависящую только от одного

63

Займемся теперь интегралом от стационарного случайного процесса. Помним, что для существования интеграла

Т (0 = j g (t, х) ? (x) dx , a

необходимо и достаточно существование интегралов

Пусть теперь ? (x) — стационарный интегрируемый на отрезке [а, Ь] с весом g (t, х) случайный процесс,

Щ (х) = пц, (т,, х2) = Ка (х2 — хх)

-п (0 = j g (t, т) I (х) dx .

Тогда

ь ь

aa

Вчастности, если

о0

64