Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

В таблице значений функции Лапласа находим

ш

1,65 ,

У~2а

откуда отрезок 0 < ш < 1,65 Y 2& и определяет полосу, в ко­ торой распределено 90% энергии флуктуационной части про­ цесса.

Для того чтобы данная полоса не вышла за пределы интер­ вала (0; 1), нужно положить 1,65 V 2а = 1, откуда а^=0,21.

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ СИСТЕМАМИ

В предыдущих главах были рассмотрены общие правила линейных преобразований случайных процессов, сводящиеся к тому, что при линейных преобразованиях случайных процес­ сов их основные характеристики — математические ожидания и корреляционные функции — подвергаются тем же линейным преобразованиям, что и сами процессы. Однако определение характеристик реакции линейной динамической системы по ха­ рактеристикам случайного воздействия в общем случае — трудно разрешимая задача. Пусть, например, работа линейной динамической системы описывается интегро-дифференциаль- ным оператором вида

и%(t) — случайное воздействие на систему, а rt (t) — отклик.

Вэтом случае даже задача определения математического ожидания (() отклика системы сводится к решению линей­ ного дифференциального уравнения с переменными коэффи­

циентами

которое разрешается в конечном виде только в отдельных частных случаях. Для нахождения корреляционной функции Кц {t\, U) пришлось бы решать линейное дифференциальное уравнение в частных производных порядка 2я с переменными коэффициентами, которое в общем случае можно решить толь­ ко приближенно. В случае, когда работа линейной динамиче­ ской системы описывается оператором вида (1), даже при ста-

105

ционариом случайном воздействии на вход системы ее реакция на выходе будет нестационарным случайным процессом.

В этом параграфе ограничимся рассмотрением преоб­ разования стационарных случайных процессов стационарными линейными системами. Под стационарной линейной динамиче­ ской системой будем понимать любое механическое, радиотех­ ническое или какое-либо другое устройство, параметры кото­ рого не изменяются во времени (постоянны) и работа которого описывается линейным дифференциальным уравнением с по­ стоянными коэффициентами

или системой таких дифференциальных уравнений, когда ди­ намическая система имеет несколько входов и выходов.

Будем рассматривать реакцию системы x\{t) на входное случайное воздействие £ (t) при установившемся режиме, ког­ да с начала воздействия прошло достаточно много времени и все переходные процессы в системе можно считать закончен­ ными. В этих предположениях при стационарном случайном воздействии Е, (t) на систему ее отклик т) (t ) также будет ста­ ционарным случайным процессом. Наша задача заключается в том, чтобы показать, как используется спектральная теория стационарных случайных процессов для определения характе­ ристик тл и (т) отклика стационарной линейной системы по характеристикам пц и Ki. (т) входного воздействия на си­ стему. Начнем рассмотрение с простейших систем.

Пусть линейная система является дифференцирующим уст­

106

Дифференцируя равенство (3) по г и взяв результат со знаком минус, получаем

изводная будет абсолютно интегрируемой функцией на всей оси.

В силу этого:

1. Операция дифференцирования в формуле (3) под знаком

а мы ограничиваемся рассмотрением процессов с конечной дисперсией).

2. Случайный процесс д (/) имеет спектральную плотность

^ = ~ h ~ f Кг> w е~'“" dx ’

которая, в силу единственности представления функции инте­ гралом Фурье, может быть получена из равенства (4). Так как

случайного процесса его спектральная плотность умножается на со2. Теперь необходимые и достаточные условия дифферен­ цируемости стационарного случайного процесса можно сфор­ мулировать по-иному:

Для того чтобы стационарный случайный процесс 5 (0 со спектральной плотностью s£ (со) был дифференцируем, необ-

107

хбдимо и достаточно, чтобы интеграл в бесконечных пределах от функции ш2 s$ (со) был сходящимся, ибо

Методом полной математической индукции этот результат легко распространится на любое п > 1.

Для того чтобы стационарный случайный процесс ? (t) со спектральной плотностью (ш) был дифференцируем п раз, необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

•о

J s : (ш) ( ш ) - п d m .

—м

Очевидно, что спектральная плотность s (со) я-й произ­ водной

случайного процесса £ (/) выражается формулой

Предположим теперь, что на вход стационарной линейной динамической системы, работа которой описывается операто­ ром вида (2), поступает т раз дифференцируемый стационар­ ный случайный процесс 5 (0 и на выходе системы получается преобразованный п раз дифференцируемый случайный про­ цесс т) (t), который при установившемся режиме также будет стационарным. Тогда имеет место следующее равенство:

или в развернутом виде

108

Если положить —р, то равенство (7') перепишется так:

(а„ р п + й„_| рп~1 + . . . + а 1р + а0) ц (t) =

или короче —

Формально разрешая (9) относительно т, (£), получаем

отношение операторов Вт(р) и Л„(/?) называется переда­ точной функцией или передаточной характеристикой систейы к обозначается Ф (р):

Передаточная функция системы равна отношению выход­ ного и входного процессов и по существу является коэффици­ ентом передачи. Передаточная функция системы Ф{р) являет­ ся преобразованием Лапласа (изображением по Лапласу) так называемой функции влияния или весовой функции, или им­ пульсной переходной функции системы g (t) — отклика систе­ мы при воздействии на нее единичным импульсом бесконечно малой длительности, например, при подаче на вход системы из­ вестной дельта-функции Дирака 5 (t — t0). Если динамиче­ ская система устойчива, то ее функция влияния g{t) будет абсолютно интегрируемой функцией на всей оси Ot, кроме то­ го. g (0 = 0 при /<0, так как следствие не может опережать причину. Функция влияния стационарной линейной системы всегда представляет собой линейную комбинацию экспонент. С помощью функции влияния процесс т) (t) на выходе стацио­ нарной системы определяется равенством

109.