Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
Отметим важные для дальнейшего свойства СК предела:
1) М (l.i.m. ?„) = lim М\п = М %,
П —> « |
Л —> аэ |
2)lim £ > ( ? „ - £ ) = 0 .
П—>оо
Теперь можно перейти к понятию предела и непрерывности случайного процесса.
Определение 1. Случайная величина называется преде лом случайного процесса £ (t) (пределом в смысле среднего квадратического) в точке t = t a, если
lim М (I (t) - |
10у- = 0 . |
|
|
t-+t0 |
|
|
|
В этом случае будем писать |
|
|
|
l.i.m. I ( 0 |
= |
Ъ0 |
|
t-ft0 |
|
|
|
или |
|
|
|
СК Ига I (t) |
= 50 . |
|
|
t-+e0 |
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
lim M l (0 |
= |
Afg0 . |
|
' “►'о |
|
|
|
Теперь легко ввести понятие непрерывности процесса I |
(I) |
||
в смысле среднего квадратического. |
(в |
||
Определение 2. Процесс Е: (t) |
называется непрерывным |
||
смысле СК) в точке t = t a, если |
|
|
|
1.1. m. l ( t ) = I (/„) .
/-+/0
Если процесс I (t) СК непрерывен при каждом t из неко торого промежутка Г, то он СК непрерывен во всем этом про межутке.
Покажем, что математическое ожидание ni%{t) СК непре рывного случайного процесса I (t) — непрерывная функция в обычном смысле.
Действительно, если
1.1. m. I (t) «■ l (t0) .
/_y/o
TO
M (l.i.m l (()) — lim M £ { t ) = M l (/„) .
‘-*'a
28
Так как nil (t) — непрерывная функция в обычном смысле, то центрированный случайный процесс
I (*) = ? (О — т (t)
будет СК непрерывен потому, что
l.i.m.£ ( t) = l.i.m. |
|£(/) — |
отДг1)! — |
l.i.m. t(t) — lim me (/) = |
= |
£ (t0) - |
ПЦ (t0) |
= £ (t0) . |
Можно показать, что и корреляционная функция Ki (tu to) непрерывна по обоим аргументам t\ и t2, если процесс £ (t) СК непрерывен. Докажем более сильное утверждение.
|
Теорема. Для того чтобы процесс |
с (t) |
был СК непрерывен |
|||||||||||
в промежутке (0; Г), |
необходимо и достаточно, |
чтобы его ма |
||||||||||||
тематическое |
ожидание Щ (t ) |
и |
|
корреляционная |
функция |
|||||||||
Ki |
(t\, t2) были непрерывными |
функциями |
при всех t, |
tu |
tа |
|||||||||
из промежутка (0; Т). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Докажем необходимость. Выше уже было показано, что из |
|||||||||||||
СК непрерывности |
процесса |
£ (/} |
следует |
непрерывность |
||||||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
At, |
и |
m% (t) и СК непрерывность £ (Л. Дадим приращения |
||||||||||||||
Д/2 |
аргументам t\ и t2 соответственно. Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||
Ki (t, + At,x K + A t J - K i (/„ |
t2) = |
Щ (/, + |
Д^,)£ (/, + |
Д/-0- |
||||||||||
- |
/И£ (г1,) £ (t3) = М [£°(f, + |
Дtx) ! |
|
(t2 + M2) ~ |
£ (t,) |
£ (/2)] = |
||||||||
= |
М [£ (/1+ Д*,)|(/а+Д*8) -£ (^ Н Д Ш * з ) |
+ |
W ,\ A i,)\ ((J |
- |
||||||||||
|
- |
i ( t {) l |
(/3)1 = |
Mi (t , + At,) |
[£ (t, + |
ЛК) |
- l (г,)] |
+ |
|
|||||
[ £ ( / , + М , ) - £ ( / , ) [ •
Известно, что
I Ккп| < V D\ D 'i ,
поэтому
IKi (t, + Дt„ + ЛК) - Ki (t„ t2) I <
< V D £ (t, -f- At,) M i°£(t2 + At2) - £ (*,)]* +
Л V DZ, (t2) M [£ (t, + At,) - £ (*t)]3.
29
Для того чтобы правая часть этого неравенства стремилась к нулю при А/, —>-0 и процесс £(/) должен б&ть СК непрерывен, т. е. должны иметь место равенства:
].i.m. | (А + ДА) = |
I (A), l.i.m g (A |
-i Mo) |
= ! (A) |
, |
||
Дfx—s-0 |
|
|
|
|
|
|
а тогда |
|
|
|
|
|
|
D [| (A + ДА) - |
| (A)] - 0 |
и D [g (A + |
Д/2) - |
£ (jf2)] |
-> 0 |
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
I /Се (А + |
ДА. |
A + |
ДА) - /Се (A. |
A) I |
0 |
|
при ДА-^-0 и ДА-^0. т. е- /Се (А, А) — непрерывная функ ция по обоим аргументам. Необходимость доказана.
Достаточность. Покажем, что из непрерывности корреля
ционной функции К% (А, А) следует СК непрерывность цент-
О
рированного процесса g (А . а с ним и процесса £(£)• Для до казательства достаточно предположить непрерывность /Се (А, А) на прямой А = А. В самом деле
М [I (А) - 5 (А )]1 = м [Г- (А) - 2 £ (А) I (А) + I (А)] =
= /Се (А. А) ~ 2 /Се (А. А) 4 - /Се (А- А) •
Но при
А -*■ А /Се(А- А) — 2 /Се (А. А) “А /А (А> А) -*■ 0 •
в силу непрерывности корреляционной функции /Се (А, А) на прямой А = А- Следовательно,
Jim Ж [| (А) — 1 (А )]2 = 0
'\*lt
и
l.i.m. g (А) = § (А) •
Г1
О
Так как с (/) = g (А -1- пц (/), а оте (/) по условию непре рывная функция, то
l.i.m. g (А) = g (А) ,
т. е. процесс с (/) — С/( непрерывен. Теорема доказана. Перейдем к понятию производной случайного процесса.
Операцию дифференцирования случайного процесса будем по нимать в смысле СК.
30 |
Ч |
|
Пусть £ (t) — СК непрерывный случайный процесс. Рас смотрим два сечения этого процесса в моменты t и t At и составим случайную величину
l ( t 4 - At ) - £ ( t ) |
m |
At |
( 4 |
Определение 3. Если существует СК предел случайной ве личины (1) при At ->■ 0, то он называется СК. производной процесса t (И в точке t и обозначается одним из символов
6 <0 ши
Таким образом |
|
|
t и + |
д о - 1 (о |
( 2) |
£' (0 «= l-i.ni. |
At . |
|
д/->п |
|
Если С/( производная (t) существует при всех t из неко торого промежутка (0; Т), то процесс £ (t) будем называть СК дифференцируемым в этом промежутке.
Найдем основные характеристики СК производной случай ного процесса. При получении математического ожидания и корреляционной функции процесса используем тот факт, что операции СК предельного перехода и математического ожида ния перестановочны.
По определению,
d£ (t) |
, . |
£ (t + |
At) - |
£ (t) |
|||
---- J7---- — |
1.1. ГП------------- r ;-------:------Г |
||||||
UL |
|
Ы-+о |
|
ДдГ |
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
м d£ (t) |
- M |
Li. in |
£ (t |
+ |
At.) |
— £ (t) |
|
dt |
|
Д(->0 |
|
|
At |
|
|
= lim /VI |
l |
(t + |
At) |
- |
t (0 |
] |
|
|
|
. At |
|
|
|
||
*U -> 0 |
|
|
|
|
|
||
__ |
1Щ (t |
-f |
At) |
— m,z (t) |
(t) |
||
~ I'iTo |
' |
|
A t ~ |
: |
|
|
eft |
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ dm.: (t)_ |
(3) |
|||
|
|
dt |
~ d |
t |
|
||
|
|
|
|
||||
и математическое ожидание /«s (/) СК дифференцируемого процесса > (t) — дифференцируемая функция.
„31