Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

Скачать файл (4,49Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Полагая в формулах (12) — (IS) ti = i2 — ts получаем соот ветствующие выражения для дисперсии:

£\ (0	=	A , (О + Dh			(t) +	2 Кчч (t, t)		,	(12')
Dn (t)	=	D4 (t)		+ D4 ( t ) ,					(13')
A ( 0	=	£	D4	(t) ,					(14')
		*= i
Dn (t)	=	£	Dik (t) +		2 2	KVv(A		t,) ,	(15')
		fc*l			A, r=l
					Ьфг
D : (t) -		D: (0		+ D , (/) +		2 Re	(*,	t) .	(16')

Рассмотрим некоторые примеры на применение перечис ленных свойств.

Пример 1. Задан случайный процесс

d {t) = 5 sin Ы ,

где ш = const, <; — случайная величина с плотностью распре деления вероятностей

	h	М =	О	при		х <	0 ,
	h	М =	\е~и		при		х >	0 .
			\е~и		при		х >	0 .
Найти характеристики процесса					£ (t).			ожидание и диспер
Решение.	Вычислим математическое							ожидание и диспер
сию случайной величины			Е:
со			X^			-Ьг---e~uj			=4- •
AIE, =Xj хе~Хх dx =			X^	х	е	-Ьг---e~uj			=4- •
о
Дисперсию		£ вычислим по формуле:
		Dq	=	Ж§2	-	М°- I ,
	со
Л4£2= X	Г x-e-Xtdx = ) J ------ у— <?~х-г ------------								хе~Хх —
			2	е -\х		со	2
			2	е -\х			2
			X3			Э	X2
						Э

D ls =				1	1
D ls =		X2		X2	X2
На основании свойства 1
rtii (t) =	М § sin a t		=	sin wt Mi,	sin at .
Корреляционную функцию				процесса	£ (f) определим по
формуле (10)
(Л» h) — М [ £	1		sin a t 2 = -^y		1
(Л» h) — М [ £	-----sin a t t		sin a t 2 = -^y		sin o>£j sin at2 ,
	D, (t)	=		X2 sin2 a t .

Пример 2. Найти характеристики случайной гармоники

? (/) = Л cos (at -Ь <f) ,

где А и tp — независимые случайные величины, причем МА —т,

МА2= о2, а случайная величина				<р распределена равномерно
в интервале (0,	2%),		(со = const).
Решение. Случайную гармонику представим в виде
	5	(t) — a cos a t		+ b sin coif ,
где fl = /4cos®,	b — —Л sin <?. В силу независимости случай
ных величин Л и ?		будут независимыми также Л и cos ®, Л и
sin «, а с ними величины а и Ь. В примере §					1 нашли
М а = Mb =		0;	Da = Db = - - о2;		МаЬ = 0 .

Поэтому

Л1? (t) = М (a cos со£ + b sin at) = cos cof Ma -|- sin at Mb = 0.

A'e (tu	t2) = M (a cos m/fj-f-ft sin cofj (a cos a t 2-\-b sin wt2) =
M (a2	cos a t Lcos co/3-f-62 sin ooft sin шt2+ a cos co^1b sin at2 +
+ a cos	cof2 b sin a t {) = Маг cos cof, cos w/2 f Mb2 sin ш/, sin o>/2 +

-f Mab (cos	sin	a t 2 -f- cos cof2 sin cof,) =
= -^- o2(cos co/t cos cof2-fsin		cot : sin cof2) =	o2 cos ш(t2 — i t) .
\

Полагая h = h = t , находим

D i(t) = Т а2<

Пример 3. Найти характеристики случайного процесса

5 ( 0 = 2 («А C0S ШАt + bk sin ш* t) ,

к—\

где а к а Ьк — взаимно некоррелированные случайные величи ны с нулевыми математическими ожиданиями и

дисперсиями
D ak = Dbk =		о\|	{к =		1, 2 , . . . , п) .
Решение. По условию задачи
М ая аг =	Mbk Ьг = 0 при			к ф г		и	М ак Ьг — 0 ,
при всех /гиг;
	П	(ак cos шк t			-f bk sin шк t)
т% (/) = М		(ак cos шк t			-f bk sin шк t)			=
	*=I
/I			П
— ^	M ak cos шА^ -f V			Mbk sin			£ =	0 ,
A=1			A-i
и на основании формулы (14)			и решения примера 2 имеем
Л
Ki (£j, /•>) = У	оI (cos соАt xcos шА				4-	sin wAZ1, sin coAt2) =
iwJ
A = ]
	П
	= 2	° * cos			~	*>) ■
	A=1 '
Полагая ti = t2= t, получаем дисперсию процесса
			А=1
Из последнего равенства следует,						что при суммировании

некоррелированных случайных гармоник их средние мощности складываются.

Пример 4. Найти характеристики случайного процесса %(t),

который может принимать только два значения:	+1	и — 1,
причем число перемен знака процесса в интервале	(t,	t + ' т)
распределено по закону Пуассона с параметром Хт.

Решение. Так как процесс может принимать значения толь ко ± 1, то, очевидно, его математическое ожидание равно нулю:

mi {t) = 0 .

Введем события:

А — четное число перемен знаков за время т; В — нечетное число перемен знаков за время т. Тогда

Ki (t„ ts) = Ki (t, t + x ) = M S ( t ) S ( t + T) = 1 •P (A) -

-1 •P (B) .

Вычислим вероятности событий А и В:

#=0

p p k ) = i i ^ r r

= c h u ’

k=Q

{В) =

P (2k +

1) =

№ () *тЛ2*-И

Sh b

7 I ? - W r

t - o

£ i,(2 A + .l)!

*=0

K% (Л t +

e~1' (ch Xx — sh Xx) =

e ->,

_ e - 8X,

“

•

При

t -> o

Ki (/, t

T) ^

Ki (Л t)

= Di {t)

и, следовательно,

Di (t) =

Рассмотрим пример комплексного случайного процесса.

Пример 5. Найти характеристики комплексной случайной

гармоники

V ) =

где

5 = Ae‘f,

со = const,

А и ® — независимые

случайные

величины,

причем МА —0, DA — o2

и случайная

величина <р

распределена равномерно в интервале (0,

2я).

Решение. По свойству 1

mi (t) — ем Ж5 = 0 ,

так как

Щ = MAefv = МА ■Ме‘? = 0 .

По определению
Ki (f„ t2)	= м\ (7 J l	(t2) =	=
= M Aeli9+lolJ	A e-11"* =	eiu,(t^ ^	M A 2 = o2 e,M('i-V .

Положив t\ —l2= t, получим

D £ (t)

§5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

ИИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Рассмотренные свойства математического -ожидания и кор реляционной функции случайного процесса показали влияние на эти характеристики линейных алгебраических операции над случайными процессами (сложения случайных процессов и умножения их на неслучайные множители). Наша задача со стоит в том, чтобы основные операции математического ана лиза (предельный переход, дифференцируемость и интегрируе-' мость) детерминированных функций перенести на случайные функции Е ( 0 аргумента t й выяснить влияние этих операций на основные характеристики процесса, составляющие основу корреляционной теории.

Однако обычное понятие предела детерминированной функ ции («поточечной сходимости») нельзя перенести на случай ный процесс, так как сечение процесса Е (t) в любой момент t является случайной величиной в общем случае с 'бесконечным множеством возможных значений. Свойства отдельных реали заций процесса не могут представлять большого интереса, ибо эти свойства дают слишком малую информацию о нем. Для нас более важны усредненные в каком-то смысле свойства слу чайного процесса Е (t ) «в целом». В- основу рассмотрения та ких свойств будет положено понятие о сходимости случайных

величин в смысле среднего квадратического.	Напомним,	что
такое сходимость в среднем второго порядка.
Последовательность случайных величин Et,	Е2	•