Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

Теперь

 

 

-

88 -

вид

; .

 

 

 

 

 

 

 

или,

(12,23) примет

 

 

 

 

 

(15,23)

вводя

обозначениея ? -

*

*

 

* *

 

 

 

 

 

- в и д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16,23)

Отсюда, согласно (13,23) , имеем

 

 

о

 

 

(17,23)

 

 

z=

 

 

но ,

 

 

 

следователь­

 

точка

 

лйсит

на

оси абсолюта. Точка

 

z K

лежит, кроме

того,

в касательной плоскости

к поверхности

в

точке

я“

,так

как

»свертывая

(16,23)

с

и.к

,

согласно

(3 ,2 0 ),

имеем

 

так

что

Z*

г

Ч

-

Г

 

 

U.a-Ü%

 

 

 

 

 

 

касатель­

 

есть точке

пересечения

ребра абсолюта с

ной плоскостью к поверхности

в точке

х“ .

вид

 

 

 

 

или,

Теперь (4 ,2 3 ),

согласно

 

(Т5,23),

примет

 

 

 

 

 

 

Cij = - іи*. <fj 9P**p =- 7 9 %

с xj,

 

 

 

 

 

 

 

согласно (2 ,2 2 ),

 

 

 

 

 

 

выражение

 

 

(18,23)

 

 

 

 

C i j ^ C c y g .

 

 

 

 

 

В § 26 будет дано окончательное

 

тен зора^ -.

§ 24. Характер геометрии І-го рода

 

 

 

, согласно

Ковариактная производная

от альтернатора

 

 

(8,23)/ (6,23) и (15 ,2 3),

равна

нулю;

 

 

 

 

 

(1.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ Отсюда следует, что геометрия аффинной связности, опре­ деляемая коэффициентами , т . е » геометрия І-го рода, явля­ ется эквиафинвоі. (§ 14). Поэтому можно получить соотношение:

(2.24)

- 89 -

характерное для эквиаффинной геометрии (§ 14). Кроме того,

v K f c ^ o .

(3,24)

Коврриантная производная от основного метрического тензора, согласно (2 ,2 1 ), (6 ,2 9 ), (4 ,2 0 ), (8 ,2 0 ), также рав­ на нулю:

V K $Lj = 0.

(4,24)

Отсгадѳ, согласно (4 ,2 1 ), имеем

Свертывая это дважды с произвольным вектором V , получим

или, сокращая

на

^

% % '» 'Г ? =

о

 

 

 

f /З ,

О ,

 

 

 

 

откуда, в силу

 

 

 

'iretTz

 

,

 

 

произвольности

'Ѵ

 

(5,24)

следовательно,

 

 

<5г = о ;

 

 

 

 

ковектор

определяет

поле абсолютно

параллельных векторов (§ Іб ) .

_

 

 

 

•

Поднимем в

(5,24)

индекс

£j

и умножим на с? , затем

свернем результат по

индексам

 

и

*

:

 

 

^

q

l cfa=0 .

с

касательным

вектором <sL

Отсюда следует,

что

линия

есть геодезическая.

для

вектора

9-

.согласно

(5,24), полу­

Написав (11,23)'

 

чим

' откуда

следоваіельно,

< м *>

Так

к8к

 

 

 

 

-

90 -

 

 

 

 

 

 

 

R tf для эквиаффинной связности симметричен(§ 14),

то (§ 13)

 

 

tj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

(§

13)

 

Я с

=

 

■

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому,

согласно

(6 ,2 4 ),

 

 

 

 

 

 

 

 

■ или,

опуская

индекс і

,

 

 

 

 

 

 

(7,24)

или

»согласно

 

4iJ

= ^ 9 c 9 j

 

 

 

 

 

( 4 , 2 л ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К:;

. К

к .

 

 

кривизной поверхности.

Назовем инвариант

к.

 

внутренней

 

§ 2 5 . Условия

интегрируемости

согласно

(15 ,2 3), по-

Дифференцируя

ковариантно (6 ,2 3 ),

лучюі

 

* * =

“ p j

+ ’'e

^ *

+

4

 

S 4 T '

 

(9 ,1 3 ),

Поднимем здесь

индекс

£

 

и свернем с

j J согласно

получим

*

' .

.

 

 

 

*

 

ъ

х

‘* t u

t

д

„

ч

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V x

; .

Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых координатах,

согласно

(8 ,2 4 ), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.25)

 

 

 

 

к

=

^ ij -tic**?

 

 

>

 

 

 

 

 

 

V V i* -

о

 

 

 

 

 

 

(2.25)

Условие (1,25) мы нике упростим;(2,25) есть, согласно (4.13) «условие Петерсона-Кодацци*}

х) А.Э.-А.Хатипов.Курс дифференциальной геометрии; изд.СамГУ, Самарканд, І9 7 І, § 44, стр.104.

 

Дифференцируя

 

-

91

-

согласно (1,24)

(5,24)

и (6 ,2 3 ),

 

(15,2 S),

получим

 

 

с ~

J

+ - у

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'У'

 

 

**

fC

 

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ - я

 

V-

 

 

* *

■+ (г'; Ö С ;

^

*

^согласно

(4 ,1 3 ),

Поднимем; здесь

индекс

J

 

и свернем

с

і

получим

 

 

 

* \ = ° >

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,25)

 

Из

(3,25)

 

£ ./ з У ° Ѵ - ° -

градиент. Из

 

 

 

(4,25)

 

следует,

что

 

есть

 

(4 ,2 5 ).

,

следует,что направления,

определяемые векторами

 

>‘ и

Ч"*

являются сопряженными (§ 22).

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введя обозначение

 

 

ел

 

 

 

 

 

 

(5,25)

получим

 

 

 

 

і-

 

іо і.

( Р

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

*

<7.

èc«9*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<7. £

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда,

согласно

(2 ,2 5 ),

cl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

f t-

 

есть

градиент.

 

(5 ,1 3 ), получим

 

 

Сравнивая

(4,25)

с

(5 ,2 5 ),

согласно

 

 

 

 

 

 

 

 

V-. = v t - .

 

 

 

 

 

 

 

(6,25)

 

На (6,25) можно смотреть как.на два уравнения с неизвест­

ным .В силу совместности этих уравнений должно быть

 

 

 

Так

К8й

4 ;

и П

■

■І І ' І"tj. 1=0*

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

- градиенты,

то отсюда

 

 

 

(7.25)

 

 

 

 

 

 

 

(f'z. f ( t)

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где у- и £ - некоторые скалярные функции di к , й*. . Дифференуируя (7,25) по а ‘ , получим

(8,25)

Теперь (17,23) примет вид

Смотрите также файлы