Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-27 -

Впервом случае имеем невырождающуюся поверхность вто­ рого порядка, во втором - конус второго порядка, в третьемпару плоскостей, в четвертом - дважды взятую плоскость.

Четыре канонические формы (7 ,7 ) при помощи проективного (вообще говоря, комплексного) преобразования

^

X I “ * I >.

 

 

,{л и X *•

} 9 ^^ чу -Ху =5X у

могут быть приведеныt

к ви^дам

»

X,

+

I

6

а. О »

"" і

•—

 

 

 

А ,

+ A t + X ,ä - .

 

 

;Д +

— 0 •

Так™ образом, относительно комплексных проективных преобразований существует только четыре различных типа по­ верхностей второго порядка.

Рассмотренная классификация поверхностей второго поряд­ ка должна быть уточнена. Можно показать*), что при помощи действительных проективных преобразований рассмотренные че­ тыре вида поверхностей (7 ,7 ) можно свести к следующим вось­ ми случаям:

 

*(І+ *г

+

 

 

+ *ѵ= о, (нулевые

поверхности),

 

'і +

* 4

_4

 

- х *0= о ,

(овальные

поверхности),

8 7

х ,1+

х г

 

(кольцеобразные поверхности),

( , )

+

 

-Aj

= ,

(нулевые

конусы),

 

* I.i +,ЦІ

-

**

= 0 ,

 

(обычные

конусы),

 

s .

 

^

 

 

(комплексно-сопвяжекныеМілос- -

 

+

 

о

 

 

•t ”

**-

-

*

 

костёр,

 

~

(действительные пары плоскостей)

причем

*/ = с .>

 

(дважды

вЭяхтбя плоскость J

 

 

 

оказывается,

что уравнение данной действительной

поверхности второго порядка может быть преобразовано при помощи действительных линейных подстановок в одно из вось­ ми уравнений ( 8 ,7 ) .

Аналогичным образом классифицируются образы второго порядка на плоскости и прямой:х)

х) Ф.Клейн,

Неевклидова геометрия, Москва, 1936,

с т р .79,

ст р .82.

- 28 -

 

*/+***-

 

*■}- 0 ,

(9 ,7 )

* / +

 

 

X y

- o ,

 

= О

>

 

 

*i -

 

 

Для пряной имеем

1і.

х/ + xL-o,

(10,7) * / - **=<Ъ

(нулевые конические сечения), (овальные конические сечения), (пары комплексно-сопряженных прямых),

(пары действительных прямых),

(дважды взятые прямые).

(пары компдексно-соряженных точек),

(пары действительных точек),

(дважды взятая точка)

§ 8 . Прямолинейные образующие невырождающеЯся поверхности второго порядка

Как известно из аналитической геометрии х \ н а кольцеоб­ разных поверхностях (однополостных гиперболоидах, гиперболи­ ческих параболоидах) имеются два семейства действительных пря­ ных. Этот вопрос может быть рассмотрен и в проективном про­ странстве.3“ '

Дадим здесь сводку основных относящихся сюда результатов: на кольцеобразных поверхностях имеются два семейства прямых. Любые две прямые одного семейства не пересекаются, а любые две прямые разных семейств пересекаются,через каждую точку поверхности проходит по одной прямой из каждого семейства, Эю две прямые, по которым касательная плоскость в рассмат­ риваемой точке пересекается с самой поверхностью. Это факты доказываются так же,как в аналитической геометрии в простран­ ст в е .

На овальных и нулевых поверхностях имеются два семейства мнимых прямых, обладающих теми же свойствами, что и семейство)х

х) А .Э .- А . Хатипов, Курс аналитической геометрии, ч.ІИ иэд.■ Учитель",Ташкент, 1967, § 122. * ’

X~)X Ф Д іейн, Неевклидова геометрия, Носква, 1936, гл .П , § 5 .

29 -

прямых на кольцеобразных поверхностях.

§ 9. Проективные преобразования,переводящие линии и поверхности второго поряд­

ка в себя

Мы видели (§ 2 ), что совокупность проективных преобразо­ ваний в пространстве, совокупность проективных преобразований на плоскости, совокупность проективных преобразований на пря­ мой, в пучках прямых и пучках плоскостей - каждая в отдельно­ сти образует группу.

Остановимся подробно на группе проективных преобразований на плоскости. Она называется общей группой проективных преоб­ разований на плоскости. Софус Ли разыскал все подгруппы этой группы.х^Ваішой подгруппой общей группы является так называе­ мая аффинная группа. Она оставляет неподвижной (инвариантной) некотрую прямую. Другой подгруппой является группа, которая оставляет неизменной пару точек, следовательно , и прямую соединяющую эти точки; так что она является подгруппой аффин­ ной группы. Совокупность всех особенных гомологий,хх^ имеющих заданную ось, также образует группу (последовательность двух

особенных гомологий из данной совокупности есть особенная гомология).

К общей гр.'-уппе проективных преобразований на плоскости относится еще одна подгруппа, которая имеет весьма важное

значение, именно проективные преобразования, оставляющие неизменными (инвариантными) некоторое коническое сечение.

Возьмем на плоскости некоторую линию второго

порядка С , че­

рез

' Д и - * ' " обозначим

две

ее точки, а через

С

-точку пере­

сечения

касательных в

М-

и

У

. ИнволюциЯ*ххх)

с осью

Аѣ и

центром

0

переводит

точки линии

с 4 в

точки

той же линии,

т . е .

оставляет ее инвариантной. Так

как

при любом проектив­

ном преобразовании линия второго порядка переходит в линию

х) См.Н .Г.Чебэтарев, Теория групп Ли; ГТТИ, М-Л, 1940. ■ хх) А.Э.-А .Хѳтипов, Курс проективной геометрии*, издательство

СамГУ, Самарканд, 1971, § 3 .

ххх) Там же, § 34.

второго

порядка

 

-

30 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и так как проективитет с двойными точками

J i

,

jS

,

0

,

переводящий точку

X

.линии С 5

в

точку

X

' той

же

 

линии,

преобразуют линию второго

порядка,

определяемую

точками

Ж

 

 

 

,Х

и касательными в

Л к

-У хх)в линию, опре­

 

 

 

 

Л

 

деляемую точками

 

, Ж , X ' и касательными в

А

и

$

, т . е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ту же линию, то мы приходим к заключениюгсовокупность всех проективных пребразований, оставляющих инвариантным данное

коническое

сечение, образуют

группу.

Учение

о проективных преобразованиях, переводящих образ

‘ второй степени самого в себя

весьма обстоятельно изложено

у. Ф.Клейна , ххх)

 

§ 10. Проективные мероопределения

Соображения, которые изложены в предыдущем параграфе, приводят к важному заключению о том, что проективная геомет­ рия в пространстве является системой, определяемой группой всех проективных преобразований в пространстве. В частности, проективная геометрия на плоскости и проективная геометрия на прямой представляют собой системы, определенные группой всех проективных преобразований на плоскости и группой всех проективных преобразований на прямой.

В своей основе такой взгляд на проективные понятия и свойства имеет установленную Софусом Ли и Ф.Клейиом точку

зрения на геометрию как теорию инвариантов некоторой группы преобразований. Она была высказана Ф.Клейном в 1872г. в лекции "Сравнительное рассмотрение новейших геометрических исследований " (известной также под названием "Эрлангѳнской программы" ) . *хххх^

Ниже будут рассмотрены геометрии, связанные с каждой из подгрупп общей проективной группы на плоскости. Ш увидим,

что геометриями подгрупп общей проективной группы на плоско-

х)

А .Э .-А .Хатипов, Курс проективной геометрии? издатель­

хх)

ство СаыГУ, Самарканд, 1971, § 51.

Там же,

§ 5 1 .

xxxj

ФіКлейн,

Неевклидова геометрия, Москва, І93б,гл.Ш ,§§ 1-3»

хххх)

См.русский перевод в сборнике: Об основаниях геометрии

 

(под редакцией А .П . Кордена), Москва, 1956.

- 31 -

сти являются не только аффинная и евклидова двумерные геомет­ рии, но и неевклидовы геометрия Лобачевского и Римана. При­ водимые ниже соображения легко распространяются па случай трех измерений. По прежде мы рассмотрим различного рода мероприя­ тия, которые называются вырождающимися или яевырождающимиея в зависимости от вида положенного в основу квадратичного об­ раза ("фундаментального образа"). Мы увидим, что все эти мероопределения (геометрии) с логической точки зрения явля­ ются равноправными с евклидовой геометрией.

п ° .І . Невырождающиеся мероопределения . Согласно (10,7) , на прямой линии невырождающимся квадратичным образом является

пара точек

Л

и

$

, которая монет быть положена в качестве

 

 

 

фундаментального образа в основу мероопределения на прямой.

Две точки

Ж,

и

Mt

вместе

с

Л

и определяют

двойное ^сложное)

отношение

( Л #

 

 

с

) ,

 

логарифм которого

(умноженный на

некоторую постоянную

 

)

 

определяется как расстояние

^4)

между точками

 

ЖІ

иМ-і ) -; с Іп(А % Ж ,Ж ^)у

( І ,Ю )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ж,

с

 

 

 

 

 

 

причем постоянная

и

 

при данном мероопределении одинакова для

всех пар

точек

Ж,

Жг

.Легко

проверить, что

из этого

опре­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деления вытекают известные свойства расстояния. Действитель­ но из .

имеем

т .е . расстояние точки от самой себя равняется нулю . Кроме того, обозначая через М-3 третью точку на прямой,имеем

следовательно,

(АЪ Аі,лх). ш

JCS),

і М.,

+ 1.Жг Ж3') - (Ж ,Л у )-

 

Так как двойное

отношение (АА>-Ж,МА инвариантно при лю­

бых проективных преобразованиях на прямой, переводящих основ­ ной образ в себя, то при этих преобразованиях не меняются и все длины. Следовательно, это новое мероопределение в логи­

Смотрите также файлы