Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 2 8 )

Л е м м а

1 . 2 .

Пусть

задано уравнение

 

 

 

u.(i)**h(t)+(Au)(t)

 

 

 

 

( 1 . 2 9 )

в пространстве С (.В)

непрерывных

вектор-функшій

со з н а ч е ­

ниями в банаховом пространстве

3

. Если

относительно

нормь

 

x\u(t)\\~SUp

 

\uU)\

 

 

( 1 . 3 0 )

справедлива

оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||Л«|(т і \^ctct)\\u\\zde,

 

 

( 1 . 3 1 )

где

f-oO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-DO

 

 

 

 

 

 

 

 

то для любой

правой

части

h-Ct)cC(B)

 

существует и

 

единственно

решение

уравнения

( 1 . 2 9 ) из

пространства

;

для которого

справедлива

оценка

 

 

 

 

 

 

\ и < ' > \ 3 * \ \ А \ [ - е " °

 

 

 

( 1 . 3 2 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Существование решения

легко

по ­

лучаем методом последовательных приближений. Действитель ­

но, для этого надо

показать, что ряд

 

 

a-h\

+ Ah+

. . . + Апк

+ . . .

 

( 1 . 3 3 )

сходится. Построим мажорантный ряд

 

 

Ы г * Щ г +

- + \ \ л П

Ч г + -

.

( 1 . 3 4 )

Используя оценку ( 1 . 3 1 ) , пол}чаем мажоранту для р я ­ да ( 1 . 3 4 )

Т

 

 

II Л Н

 

 

uCtydt^

... +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п-1

 

 

 

 

 

 

adroit,

\ «(tg)dt

 

 

 

*Lt,jdt

 

+

 

( 1 . 3 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

ряд ( 1 . 3 5 )

сходится^и его сумма

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 3 6 )

в чем легко убедиться дифференцированием по Т.

 

 

 

Таким образом,

ряд

( 1 . 3 3 ) сходится,

т . е . уравнение

( 1 . 2 0 )

имеет

решение.

 

Одновременно

мы

получили

и

оцен­

ку

( 1 . 3 2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем

теперь

к

доказательству

единственности

р е ­

шения

уравнения

( 1 . 2 9 ) .

Для этого достаточно показать ,

«то

однородное

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 3 7 )

имеет

лишь тривиальное

решение.

 

 

 

 

 

 

Учитывая

( 1 . 3 1 )

.получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\\Аи\\г

« j

* < г ; * * .

\\а\\г

 

 

 

( 1 . 3 8 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 3 9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, согласно условию

теоремы, ое.(Т)

—сум­

мируемая функция.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

найдется

такое

число

71

, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

( 1 . 4 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не

тогда

из уравнения

( 1 . 3 7 )

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

^1!А||Г-|КНГ ^N|7 ,

 

,

 

 

 

 

( 1 . 4 1 )

т . е . , что

||а||г = О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

\\и\\,г—0

 

, то,

используя

( 1 . 3 1 )

для

таких

вектор-функций,

легко

получаем

при

д

> О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cC(Tjdf-

\и

\т

 

 

 

( 1 . 4 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 73 + Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем настолько малое число Ао>0

, чтобы при

любых Т,

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оС(Т)ЫТ^—

 

.

 

 

 

 

 

(1 . - 13)

 

 

 

*

-V,

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это

можно

сделать,

ибо функция оС (Т)

суммируема

на всей

оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвратимся теперь к решенто

однородного уравнения

( 1 . 3 7 ) .

Если и (Г)

решение

( 1 . 3 7 ) ,

то || и\\

= О

;

и с ­

пользуя

( 1 . 4 2 )

и ( 1 . 4 3 ) , получаем

 

 

 

°

 

 

 

 

т . е .

|| W || г» у д

~ О

• Продолжая

этот

процесс

п

 

раз,

получим

 

° || a ] l r

 

~°

 

 

• т ,

е '

 

 

 

 

• Т е м

с а м ы м доказана

единственность

решения

уравнения

 

( 1 . 2 9 ) .

 

 

 

§

2 . Факторизация

матриц

 

 

 

 

 

 

 

Под факторизацией матриц понимают разложение квад ­

ратной матрицы на треугольные множители. Из теории

м а т ­

риц

известно, что неособенная

матрица

А=||с^. . JJ

^

f .

может быть радложр"а на неособенные треугольные множп—

тел» R*~\St,j\

ij^i

(

6i,j~°

n I J , 1 < / > /

) "

C-~¥ij\\

(

^ V =

^

" P " ' V

) , т . е . пред-

ставлено в виде

 

 

 

 

 

 

Л = ^ - Г _

 

 

( 2 . 1 )

тогда и только тогда, когда прямая последовательность ее главных миноров отлична от нуля:

Совершенно аналогично получаем, что представление

 

 

А =

 

 

( 2 . 2 )

имеет место тогда и только тогда, когда

обратная

после ­

довательность ее миноров отлична от нуля. т . е .

 

 

Ъ=

**\\*^\\?^ -

к+

<*0.

 

( 2 . 3 )

Ы

 

л

 

 

 

 

Факторизацию ( 2 . 1 ) будем называть правой, а ( 2 . 2 )

-

левой.

 

 

 

 

 

 

 

Если матрица

 

А Допускает правую

и левую

фактори­

зацию (множители

могут быть различны),

то говорят,

что

Лдопускает двустороннюю факторизацию.

Матрицы,

допускающие

двустороннюю

факторизацию, о б ­

ладают рядом интересных свойств. Остановимся,

на

некото ­

рых из них, что будет

полезно

при рассмотрении

контину -

альных аналогов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

А

- квадратная

матрица. Рассмотрим

равенст ­

во

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А^=У,

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 4 )

где

 

. ,<хпУ,

у = (у,,...

— в е к т о р ы

из £ П

Если

в равенстве

( 2 . 4 )

х

считать

известной

в е ­

личиной, то у

всегда

однозначно определен. Если считать

у - и з в е с т н ы м , то

сс -однозначно определен, если

А —

невырожденная матрица. Однако компоненты

х и

у

 

м о ж ­

но разбить

на две группы

-

' и з в е с т н ы е *

и

"неизвестные"'

Смотрите также файлы