Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

a(E,)+

if(%)F(q-x,£,+x)dy^ff

,

^>Л;

имеет в Ls

лишь

тривиальное

решение

при

любых значениях

параметров <z^O

и t .

Тогда('и только

тогда) оператор

является оператором рассеяния задачи ( 3 . .1.)—(3.2)

на полу­

оси

с потенциалом вида

( 3 . 3 ) - ( 3 . 4 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Рассмотрим

две

системы

уравне­

нии

типа

(3.8)^

( 3 . 9 )

H(x,t£)

+ Н.(х,£,тї)У(гі+х£~х)

d 4 =

О,

b,*t,

2+

НІ-

ІхА?)Щ+х,Ь

-x)d?i=~

*f(t*x£-x),

££t.

В силу фредгольмовости и тривиальнбй

разрешимости

однород­

ных уравнений

существует и единственно в

L£ решение

( 3 . 9 ) —

( 3 . 1 0 ) . Более

того, используя

лемму

2 . 1

(анализ

уравнений

2 . 1 3 - 2 . 1 4 ) , получаем, что при

лїО

I »„<*,Ш

\(Ли^иеиА^гх\У^

'

{ З

Л 1 )

и, кроме того,

I K - ^ I I -

" * ' H ^ № ; l l

~ * а

при

( 3 . 1 2 )

Рассмотрим разностные

аналоги операторов

д

д

д

t-

—,

д

д

д

3

д

д

д

д

д

d t д х

дё>

~dt~

дх ~Щ

' ді +

дх~~

дї,

' дї

''дх

* д~К

'

Т ' Є '

операторы

^

^

(к-/,2,3,4)

определяемые

равенствами

( 3 . 1 3 )

МіЛ

Ф&М>

= {

\Ф(х+Ь,і+к,£,-к)-фСх,£Л)\

,

М^Ф(х,£,ї)

= ±

\Ф(х+Я,і+кХ+к)-ф(х,і,ї,ї\

•

Применяя

к пбрвому уравненто ( 3 . 9 )

оператор Мъ ^ , а ко

второму уравненто

^

, получаем

( 3 . 1 4 )

_ /

Учитывая,

что при

fi-^u

і. п і.

|j

H^Jx+kJ+q,

q.-h)&(q+x,£,-x:)cC%

^

( 3 . 1 5 )

»-

2Hsjx,tt){/(t+x,£-x)

делаем вывод, что

система

( 3 . 1 4 )

в

пределе

h->• О совпадает

с

( 3 , 1 0 ) ,

умноженной

Ha-2Hg

(x,t,£)

<Ре(х,і,Ю=Ф(*-я,

Ь+х)

•

( 3 . 2 7 )

Из

определения

( 3 . 2 5 )

функции

Фе(х.,Ь.К)

имеем при

^-t

Фг(-х,і,і)=0

. С

учетом

( 3 . 2 7 )

приходим

к

равен ­

ству ФО-х,&+х)-0

или Ф2(х,і,£,)=0

.

С у ч е ­

том

( 3 . 2 5 )

это

дает

второе уравнение.

Учитывая единственность решения

уравнений

для ядер операторов преобразования получаем важный

вывод.

Операторы

Н

(х)

являются

операторами

преобразо­

вания задачи рассеяния для системы

( 3 . 1 ) ,

если

в качестве

потенциала

ck(x,t)

выбрать

выражения

( 3 . 2 0 ) .

Для

полного

доказательства теоремы осталось лишь показать, что

опера­

тор

выражается

через

точно

так,

как

через

них в ы ­

ражается

оператор

рассеяния.

Полагая в

(3.8)

х

= С

в

силу теоремы 1 . 4

г л . 1

делаем

вывод,

что

допускает

двустороннюю факторизацию.

Пусть

^—(1

+ А + У*(1-*А_)

• Тогда

операторы

Af

и

А_

* удовле­

творяют

системе

уравнений

Г A.=F_+(A^F_).

,

<

( 3 . 2 8 )

которая

относительно

А+

и Л_ однозначно разрешима

в

силу

двусторонней фякторизуемостн

оператора

. Полагая х = 0

в ( 3 . 9 )

и ( 3 . 1 О)> и

вычитая

в

них

первые

и

вторые

уравне­

ния,

получаем

' HfJ0)

-Нг_

(Q)=F_

+ \(Ни

(0)-Ни

(0))F_ j

<

( 3 . 2 9 )

Сопоставляя

( 3 . 2 9 )

н

( 3 . 2 8 ) ,

делаем

вывод

A . - f i

W)-H(O),

Л =//

(Q)-H

((!).

( З . З П )