Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
u w |
■ 2 л |
(7 .3 .2 2 ) |
X ( z ) |
x г -f (7,5 г. + / |
|
A ft) = |
|
Определить зависимость сигнала на выходе контура в момент време ни кТ от значений сигнала на входе и выходе контура в предшест вующие моменты времени.
Производим деление числителя и знаменателя выражения
(7 .3 .2 2 ) на Х г : |
= |
(/(%> _ / |
+ 2 z .'l ->- |
3 г |
|
|||
|
А |
(г) |
|
|
||||
Из этого |
|
|
Л"(Х) / |
+ 0,5 х ч * |
2 |
|
||
|
|
|
|
|||||
выражения имеем уравнение в х. -изображениях |
(7 .3 .2 3 ) |
|||||||
О + |
|
t.~2)U ( z)=(/+2z ~/->-3z ~*)X(z) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнению (7 .3 .2 3 ) соответствует разностное уравнение (алгоритм) корректирующего контура
«/«//у- 0>5и[(к-І)Т]-и/[(к-2)Т]=х[кТ]->-2х[(к-І)Т]+5ос[ск-2)7].
Из данного уравнения получаем требуемый результат
и[кТ] = х[кТ] + 2х[(к-/)Т]-і-3oc[(k-2)T]-0,5u[(k-4JT]-u[(k-2)t].
Материалы для проверки усвоения содержания параграфа1234
1 . Дайте определение импульсной операторной Функции разомк нутой системы.
2 . Как определить ^ -ОПФ участка цепи, состоящего из не прерывной части и фикжрующего звена?
3 . Напишите выражение импульсной операторной функции замк нутой системы.
4 . Покажите связь между передаточной функцией и разностным уравнением импульсной системы.
§ 7 Л . УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Методические указания
В результате изучения параграфа слушатели должны знать оп ределение и показатель устойчивости; знать формулировку крите-
150
рия Найквиста и уметь оценивать устойчивость системы по виду кодографа АФХ разомкнутой системы; знать порядок построения ло гарифмических псевдочастотных характеристик импульсной системы.
Содержание
Как и для непрерывной системы, для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы собственное движение (пе реходная составляющая) ее с течением времени стремилось к нулю
|
|
|
еіт у „( к Т ) ~ 0 . |
|
|
(7 .4 .1 ) |
|||||||
|
|
К— |
сх=> |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( д |
Г |
|
|
' |
|
7 |
|||
Переходная составляющая у п |
) представляет собой |
общее |
|||||||||||
решение |
однородного |
разностного |
уравнения (7 .3 .1 7 ) |
системы, ко |
|||||||||
торое может быть представлено в виде |
|
|
|
|
|||||||||
|
Уп(«Ѵ |
= |
|
+ |
|
+ ■ ■ ■ *Cnz n , |
|
( 7 .4 .2 ) |
|||||
где- я-/, * г , •••;**- |
|
корни |
|
|
|||||||||
|
некратные |
характеристического |
уравне |
||||||||||
|
|
|
|
ния |
|
|
|
|
|
( 7 .4 .3 ) |
|||
|
|
|
|
|
an z n' + ап_ , 2 п' і ’~ -ю (, = О, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
образующегося из лево« части уравнения |
Функ |
||||||||
|
|
|
|
(7 .3 .1 6 ) |
или |
знаменателя |
передаточной |
||||||
С{ ,С г>... } Са |
— |
|
ции |
импульсной |
системы; |
зависящие от |
началь |
||||||
|
|
|
произвольные |
постоянные, |
|||||||||
Из |
|
|
|
ных условий. |
|
|
|
условия |
|||||
выражения (7 .4 .2 ) видно, что для выполнения |
|||||||||||||
устойчивости ( 7 .4 .1 ) необходимо |
и достаточно, чтобы все корни |
||||||||||||
характеристического |
уравнения были по модулю меньше |
единицы |
|||||||||||
Выражением ( 7 .4 .4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .4 .4 ) |
|||
|
в аналитической форме представлен показатель |
||||||||||||
устойчивости импульсной |
системы. |
|
|
условие |
|||||||||
Графически на |
|
комплексной плоскости корней z |
|||||||||||
( 7 .4 .4 ) |
соответствует тому, |
что |
все корни характеристического |
||||||||||
уравнения импульсной системы должны располагаться внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 7 .1 2 ) . Окружность единичного радиуса в этом случае представляет собой границу устойчивости. Для анализа устойчивости импульсных сис тем без вычисления корней характеристического уравнения приме няется ряд критериев, являющихся аналогами соответствующих
I5 I
критериев, используемых в системах непрерывного управления. Рассмотрим один, более предпочтительный в инженерной практике, аналог критерия Найквиста, получаемый с помощью соответствую щей модификации.
Для использования критерия Найк виста необходимо знать корни характе ристического уравнения разомкнутой си стемы (полюсы передаточной функции). Достоинством критерия является т о , что он позволяет судить не только о факте устойчивости иди неустойчивости замк нутой системы, но и о запасах устойчи вости по фазе и амплитуде. Однако сле дует заметить, что построение годогра фа АФХ требует больвого счета .
Пусть передаточная функция разомкнутой импульсной системы имеет вид
где |
Ѵ (* ) |
= |
|
m-é' , *t - 4 |
|
|
do |
|
( 7 .4 .5 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
п & т . |
|
числитель и знаменатель на произведение сомножи |
||||||||||||
телей Разложим |
|
|||||||||||||
где |
г , - |
корни |
|
~ |
|
|
|
~ $>г) |
|
( 7 .4 .6 ) |
||||
числителя |
(нули передаточной функции); |
|||||||||||||
|
- |
корни |
знаменателя (полюсы передаточной |
функции). |
||||||||||
|
Частотная характеристика раэомкнутой импульсной системы |
|||||||||||||
образуется |
из |
|
W(z) |
подставкой |
р |
j c o |
.е |
При |
этом |
учитывается, |
||||
|
|
|
|
«z |
|
|||||||||
что |
согласно |
определению ( 7 .2 .7 ) |
|
- |
|
Тр . |
|
|
||||||
|
Произведя |
|
подстановку |
p - j u |
в ( 7 .4 .6 ) , |
получим |
||||||||
|
Щ е * ыТ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 7 .4 .7 ) |
||
Частотная характеристика W(e^cüTJ будет периодической, так как функция в ^ыТ является периодической, т .е .
152
Учитывая это , ори |
|
построении |
годографа |
|
|
О * со * |
у |
||||
|
АФХ импульсной |
системы |
|||||||||
можно ограничиться |
|
|
|
|
e JujT |
|
|
|
|||
диапазоном изменения |
частот |
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
JJ- |
2з? |
|
|
части годографа для |
|||
|
|
с о * у и |
|
|
|
|
|||||
Кроме того , в силу четности |
функции |
|
будут |
||||||||
диапазона частот |
|
* |
jr |
|
со |
|
симметричны |
относи |
|||
тельно действительной оси . Поэтому на практике достаточно по |
|||||||||||
строить годограф АФХ при изменении |
|
|
от |
0 |
до у - . |
|
|||||
Критерий Найквиста для |
импульсной |
системы формулируется |
|||||||||
следующим образом. Если передаточная функция разомкнутой систе
мы |
W(a.) |
имеет г |
полюсов, лежащих вне единичного |
крута, |
то |
||||
для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо |
и дос |
||||||||
таточно, |
чтобы годограф АФХ разомкнутой системы охватывал |
точку |
|||||||
( - |
I , 0) |
на угол |
2 |
|
частоты |
0 д о -у |
• |
|
|
Z T при изменении |
|
||||||||
|
Если |
передаточная функция |
W c*) |
имеет |
полюсы, |
равные |
по мо |
||
дулю единице, то нужно дополнить частотную характеристику |
дру |
||||||||
гой |
бесконечно больного радиуса. |
|
|
|
|
|
|||
а) |
5) |
Рис. 7.13
На рис. 7.13 показаны годографы АФХ устойчивой системы в замкнутом состоянии третьего порядка, рія рис. 7 .1 3 ,а г - о и угол поворота вектора Найквиста N(ejw ) = l ^W(eja>J равен нулю.
Для рис. |
7 .1 3 ,6 * = / |
и соответственно |
угол |
поворота |
вектора |
Найквиста равен |
На рис. 7.13 пунктиром показана |
часть го |
|||
дографа |
при изменении частоты от -у- |
до |
. На рис. 7.14 по |
||
казан годограф АФХ устойчивой в замкнутом состоянии системы, пе редаточная функция W(z.) которой имеет один полюс, равный еди нице ( « - / , « - / ) . Здесь дуга бесконечно больного радиуса показана штрих-пунктиром и угол поворота вектора Найквиста ра вен нулю.
Как и для непрерывных систем, для импульсных систем при анализе устойчивости используют логарифмические частотные х а -
153
