Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

д х [п т ]= х [ і п *І)Т] - х [ п т/ .

(7.2.1)

& *х[п т]=ь*ч х [ п +І)Т]-&*чх [ п т]=

х[(п+к-уТ]р-2'2 )

І Г xH J = È *[(n-m)T]

m *О

m

играет по отношению к решетчатой функции ту же роль, что и

интеграл в непрерывном анализе.

Решетчатые

функции, их разности и суммы являются предме­

шетчатой функцией

у[пТ]

и ее разностями различных порядков

д ^ у/

п Т ]

(

J ul

= 1 ,2 , . . . ,

L

)

определяет уравнение в конечных

разностях или разностное

уравнение.

где

х [п Т ]

-

известная заданная функция;

у[пТ]

-

искомая функция, представляющая собой решение

п Т ]

При

х [

разностного уравнения.

уравнение,

х[пт] ф о=, 0 имеем однородное разностное

а если

то разностное

уравнение является неодно­

родным.

у [ п т]

Если в уравнении (7 .2 .3 ) заменить разности решетчатой

функции

их значениями из ( 7 .2 .2 ) ,

то получим иную фор­

му, которая часто более удобна

(7 .2 .4 )

а (

+ £)Т]+а(./у[сп + £-/)Т]+---+аду[пТ]= х [ п Т ] .

Уравнение

у [ 0 ]

и [ Т ]

у[(£-І)ТІ

(7 .2 .4 ) иногда называют рекуррентным,

оно позволя­

ет при заданных

значениях у [(п + в,)Т]

при

...............

,2 ................Это

последовательно

вычислять

/г = 0 ,1

обстоятельство

отличает разностные уравнения от дифференциаль­

ных. Разностное уравнение,

содержащее

у[п_Т]

и

у[(_п+£)Т]

,

называют разностным уравнением

I

-г о

порядка.

Начальные,

или

в общем случае граничные,

условия для разностного уравнения

£ -го порядка

задаются

в

виде

значений решетчатой функции

у М

= 0 ,1 ,2 . . .

(

€ - і

) ,

если

оно имеет форму

( 7 .2 .4 ) . при л

Операции с разностными уравнениями существенно упрощают­

ся при использовании так называемого

х

-преобразования,

пред­

ставляющего собой одну из разновидностей дискретного

преобра­

зования Лапласа. Дискретный сигнал

х [ п Т ]

на выходе ключа мо­

жет быть представлен

в

виде последовательности &импульсов,

сле­

дующих с периодом Т ,

т .е .

последовательности

-функций.

Пло­

щадь каждой такой функции численно равна дискретному

значению

входной функции в момент прерывания

х ( п Т ) .

Аргумент

кванто­

ла имеет

вид

r

x C n T J & C i ~ п Т ) }

(7 .2 .5 )

х [ п Т ] =

п' f=0

$

где

B tt .- n .T j-

смещенная

-функция,

для которой смещение

V

-

п Т

Возьмем преобразование Лапласа от левой и правой частей

выражения (7 .2 .5 )

(7 .2 .6 )

Х *(р )

=

Т і * ( п Т ) е - пТе.

£1*0

Соотношением (7 .2 .6 )

представлена одна из форм записи дискрет­

ного преобразования Лапласа,

которое xявляется функциональным

преобразованием решетчатой функции

[n .T j

. При написании

формулы

(7 .2 .6 ) мы учли, что

изображение Лапласа смещенной

В

-функции

В ( t

-

z

)

равно

е ~Vf>.

Введем обозначение

(7 .2 .7 )

тогда

е Тр= Х і

X (я-)

= Х * ( т і п z )

£ x ( n

T) x ~ n .

(7 .2 .8 )

= /х*0

Z

-преобразованием функции

п. ТJ ,

представляющей со­

х

х [I

бой дискретные значения функции

(

) , называется функция

Х

( Z

) комплексного

аргумента

z

,

определяемая выражением

( 7 .2 .8 )

. Операцию г -преобразования,

определяемую формулой

( 7 .2 .8 )

, будем обозначать так:

(7 ,2 .9 )

Х ( х )

= Z [x fn T ]J .

Z ja o c f(l) ■+Ö X g C ü J ^<xXt (z) + 6Хг (а) .

(7 .2 .1 0 )

* / : ,*0

х , [ ( ” - к ) Т ] х г (кГ)1 = Х ,( а ) Х 2(а) .

(7 .2 .1 4 )

>

Материалы .тупя ' ппоперки усвоения

операторная передаточная функция иди

а.-ОШ

Отличие х -О Ш от

часть которой описывается известной функцией веса

w ( і

)

(рис. 7 .7 ) . На вход непрерывной части

будем подавать дискретную

последовательность импульсов

х [п. Т].

Выходная івеличина систе­

мы представляет непрерывную функцию времени

у

(

) . Для получе­

ния импульсной выходной величины

у [ п

Tj

к выходу подключается

фиктивный ключ, синхронизированный с

входным ключом.

ности х ( 0 ) w(t),

хП(.

Т) w(i -Т)}

;

x ( x T ) w ( t -к Т ).

Следова­

тельно, получим

(7 .3 .1 )

у ( 0

Ц я' t « V w C t - к Т ) -

Например,

-к = О

, когда

< 2Т

в момент времени t,

tt

, сигнал

на выходе

равен произведению импульса площади

ат(0)

на значе­

ние функции веса в момент времени

t,

плюс произведению импуль­

са площади

X

(Т)

на

значение

функции веса

в момент времени

t { - T

.