Файл: Клевенский А.Е. Моделирование геометрических понятий и технология проектирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если Fa

= 0, то точка А л е ж и т на

элементе описания.

Теперь

вернемся к главной теме

этого п а р а г р а ф а —

преобразованию разноименных элементов описания. Пре ­ ж д е всего необходимо показать, что базовый элемент ти­ па отрезка прямой можно представить базовым элемен­ том типа дуга плюс ФОТ.

Такую процедуру назовем «заменой прямой». Р е з у л ь ­ татом выполнения этой процедуры является вычисление

численных

значений

компонент описания дуги (включая

Ф О Т ) , проходящей

через начальную и конечную точки

заданной

прямой.

 

Учитывая возможность произвольного выбора пара ­ метров дуги, проходящей через две точки прямой, прини­ маем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

_ _ 3 _

 

 

 

 

 

 

 

 

 

То, дуги —

Го, дуги

^

Я

-

 

 

 

 

Д л я

 

того чтобы вычислить компоненты

х0,

у0,

примем

значение

функции

F (0,5),

равное

2~^0 '

^ о г

д

а '

п ° Д с т а "

вив значения параметров прямой (при

Т

=

0,5),

а

также

значение

функции

F (0,5)

в

формулу

(4),

получим

я (0,5),

у (0,5),

численные

значения

которых

присвоим координатам

центра

дуги.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь остается определить аналитическое

 

описание

ФОТ, построенной на дуге. Значение этой функции

равно

отрезку

нормали

дуги,

образованного,

 

С одной

стороны,

самой дугой, с другой — заданной прямой. Поэтому зада ­ ча сводится к тому, чтобы определить координаты точки заданной прямой, соответствующие пересечению ее лу-

40MJ исходящим из центра построенной дуги,

причем на­

правление л у ч а . о п р е д е л я е т с я

параметром

движущейся

точки дуги.

 

 

Известно, что координаты точки пересечения прямых

можно представить следующей

зависимостью:

27

если уравнение двух прямых имеет вид

Ахх + Вуу = Сѵ А„х - f BQy = С2 ,

то точку пересечения этих прямых можно представить в матричной форме

 

 

 

А,

А,

=

[Сѵ С,]

 

 

 

 

Вѵ

ß 2

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

Alt

А.2

 

 

 

[Ха,

Уа\ = \СѴ С,]

 

(13)

 

Вѵ

В.2

 

 

 

 

 

 

 

 

если

детерминант

матрицы

Ау,

Л,

не

равен

нулю, то

Вѵ

В2

іха> Уaï'—координаты

 

 

 

 

искомой

точки.

 

 

 

Д л я нашего случая

компоненты правой

части

представ­

ляют

следующие

зависимости:

 

 

 

 

 

А1

=

sina|30,

 

Вг

=

— cosi|)0 ,

 

 

А2 =

sin а,

 

ß 2

=

—coscc,

J

а = г))0

 

3

я + со0 Г,

 

 

 

 

 

 

4

 

 

С х = л 0 sin -ф0 — г/0 cos лр0,

C2 = x(0,5) sin а — у (0,5) cos а.

Для вычисления координат (х0, уа) матрица

(14)

Г А А.

1 1

2

I &ѵ В* J не будет особенной, так как Т изменяется в промежутке от 0 до 1 и, следовательно, детерминант при любом из зна­ чений Т не будет равен нулю.

Отметим, что параметр Т характеризует движение точки по базовому элементу «дуга», поэтому, приняв F (Т) = 0 и подставив вычисленные компоненты дуги в формулу (7),

получим координаты

х(Т),

у(Т),

которые

представляют со­

бой проекцию точки

(л:„,

уа) на

базовый

элемент (дугу).

28

Воспользовавшись формулой (11) и подставив численное

зна­

чение угла ß = i | > 0 — ~ - \ - а 0 Т

получим искомую

величину

•функции отклонения

точки.

 

 

 

 

Таким образом, процедура замены прямой состоит в

выполнении вычислительных

опеіэаций (12)

и

(14),

(13),

(7) и (11).

 

 

 

 

 

 

Схема

последовательности

вычислительных

операций

процедуры

«замена

прямой»

позволяет

разноименные

элементы графического описания (когда на отрезке пря­ мой не задана ФОТ) привести к'одноименным описаниям.

Если на прямой з а д а н а ФОТ, то данный элемент гра­ фического описания приводится к базовому элементу ти­ па дуги только в том случае, если для любой точки дуги

функция

ее отклонения, з а д а н н а я на прямой, принимает

только одно из своих новых значений.

 

После

приведения заданных

элементов графического

описания

к одноименному

виду,

дальнейший ход

проце­

д у р ы

преобразования элементов

определяется

форму­

лой

(8).

 

 

 

 

Преобразование вида

(8) является линейным. Если

вместо 5 подставить нелинейную нормированную функ­ цию от аргумента SÇ [0, 1], то выражение (8) при­ обретает большую общность. Однако этим не исчерпы­ ваются варианты преобразования элементов графическо­ го описания.

Возможны случаи, когда к а ж д а я компонента W явля­ ется функцией от 5. В общем виде это можно записать так:

W=<Wl(S),

w.2(S),

w3(S),

ui4 (S), w5(S);

F(T, S) > . (15)

Здесь

к а ж д а я из

указанных функций

представляет

частный

случай решения задачи и оформляется

в виде

специального программного

модуля. Д л я

этого

варианта

о б р а з конечного элемента графического описания в со­ став исходной информации может не входить.

5. Пересечение элементов

графического описания

Рассмотрим еще несколько процедур. Луч, исходящий из какой-либо фиксированной точки, можно записать в виде вектора W (2)

= < 0> * л . Ул' "Фл. Ья > ,

29

причем компонента Ьл принимается условно (можно з а ­ дать любое положительное число), так как длина луча неограничена. При такой записи луча возможно исполь­ зование формулы (4). Если теперь луч пересекает какойлибо элемент графического описания, то

 

 

 

 

х(Т)

= хл(Тл),

 

 

 

^

 

 

 

 

У(Т)=уа{Тл).

 

 

 

 

Систему равенств (16) для элемента типа прямой и

типа дуги можно

привести к следующим видам .

 

 

Д л я

прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

Т-

F

(Т)\

Г

sin (гр„ — «фо)

Fi

 

(17)

где

 

 

 

 

.

cos (я|)л — г|>0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

г|)л"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F а = [*л

— * о «

Ул

— Уоі

 

 

 

 

Остается решить уравнение (17) относительно Т. Оче­

видно, что луч не пересекает элемент

описания

в двух

случаях:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) sin (г|;л —\|~0 )-=0,

т. е. когда

луч

и п р я м а я

п а р а л ­

лельны;

 

 

 

Т не входит в промежуток [0,

 

2) вычисленное

1].

Если на элементе «отрезок прямой»

з а д а н а

ФОТ, то

условие

1 является недостаточным

и необходимо

провести

дополнительный

анализ

в ы р а ж е н и я (17).

 

 

Решение

уравнения

(17)

и дополнительный

 

а н а л и з

возможности пересечения линии представляют собой частные задачи, которые независимо от способа их реше­ ния д о л ж н ы быть включены в состав обязательных опе­ раций.

Д л я

дуги

система (16)

приводится к виду

 

 

 

(F(Т)

+ R0)-sm®0

- ^

+ w0T) +

Fa =

0,

(18)

где Fa

имеет

то же значение,

что и

для

прямой.

 

Решение

этого уравнения

также

включается

в

состав

обязательных операций. Если ФОТ не задана, то пересе­

чение определяется

значениями

[0, 1],

которые

вы­

числяются по

формуле

 

 

 

Т = — %

- ^

+ пгл - ( -

1 )™ arcsin

j J

(19)

30

Смотрите также файлы