Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 1
Равенства (18) определяют проекции момента количе ства движения на координатные оси.
7 |
= ѵЛ Ф |
~h |
і 2 |
- величина момента количества |
*02 |
||||
|
• « |
■ |
|
|
движения точки. Направление вектора получим через коси нусы:
,тл \ кох . cos(kc,x)=— ,
COS |
/7-/1 \ ^ом. |
/ Г /1 \ ^ O Z |
|
? |
cos( K , z ) ~ ~ |
||
|
Найдем связь момента количества движения с силами,
действующими на |
точку. |
|
умножим вектор- |
|||
По второму |
закону Ньютона |
|||||
но слева обе части равенства на |
г и рассмотрим левую |
|||||
и правую части |
|
dts _ |
d |
dz |
|
|
?хт W- 7Х т |
d t |
(z x m tr)- |
|
J |
||
|
|
d t |
V |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
_____________ |
|
|
|
|
|
О |
|
(19) |
|
d t |
( ? X mO-)*=-Z |
, |
|
|||
|
|
|||||
гх & = М 0 |
|
момент количества движения |
точки; |
|||
7x m ts - ka - |
момент действующей на точку |
|
силы |
|||
|
- |
|
||||
d k a относительно |
0 |
|
|
|||
точки . |
(1 9 ') |
|||||
|
d t |
|
|
|
- теорема об изменении момента количества движения.
Производная по времени от момента количества движе ния равна моменту силы, действущей на течку. Мемент
132
силы и момент количества движения вычисляются относи тельно одной и той же точки.
Теорему об изменении момента количества движения можно записать через проекции на координатные оси:
dk.^ |
|
|
d-kgu |
|
äh,О! |
|
|
(19 |
|
||
—**=.[* . |
----- |
d - =/и |
|
|
|
|
) |
||||
dt |
|
х 7 |
|
£ |
|
d t |
|
|
|
||
|
d t |
|
|
|
|
|
|
||||
Следствия. |
|
|
М?=0 |
|
|
плоскости |
^Ог- |
9 |
|||
|
/и=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
I ) Предположим, что сила лежит в |
|
|
|
|
|||||||
тогда |
|
о1 |
и |
|
г |
|
|
|
|
|
|
значит |
|
|
d a . .o '- |
d » = o |
|
|
|
|
|||
т .е . |
|
|
d t |
|
и 7 |
d t |
0 |
|
|
(PO) |
|
|
|
|
|
feQ?-co n st |
« |
|
|
||||
|
|
|
|
k0^=cons^ |
’ |
|
|
во |
все |
||
2) Предположим, что линия |
действия силы $ |
||||||||||
время движения проходит через некоторую точку. Такая |
|||||||||||
сила называется |
|
ц е н т р а л ь н о й . |
|
|
|
||||||
Выберем точку, через которую проходит лштия действия |
|||||||||||
силы, |
|
за центр момента, |
тогда |
момент силы |
& |
относи |
|||||
тельно |
этой |
точки |
равен |
нулю: |
ÄS - z x d = 0 |
|
во |
все |
|||
время |
|
движения. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательноd*0, |
к = cons t . |
|
( ? i) |
||||||||
|
|
|
~ d 7 =0 7 |
|
Формулы (20) и (21) - следствия теоремы об измене нии момента количества движения.
1 3 3
§ 7 . Момент |
к о л и ч е с т в а движения системы м атериальны х |
|||
т о ч е к |
(к и н е т и ч е ск и й м о м е н т ). Т еорем а о выражении |
|||
|
м ом ента |
к о л и ч е ст в а |
движения |
|
Р ассм о т р и м с и с т е м у , состоящ ую из |
п |
т о ч е к . Для |
||
каж дой т о ч к и |
момент к о л и ч е ст в а движения |
от н о си т ел ь н о вы |
||
б р а н н о го полю са н ай д ет ся по |
формуле |
( 1 7 ) . Момент количе |
||
с т в а движ ения систем ы б уд ет |
р а в е н : |
|
|
гг
2=/ |
г-і |
|
( ? 2 ) |
|
для |
||
О пределим момент |
к о л и ч е ст в а движения системы |
||
|
сл у ч а я |
слож ного |
движе |
|
ния . Р ассм отрим с л у ч а й , |
||
|
к о г д а |
центр м асс |
дви |
|
ж ется |
п о с т у п а т е л ь н о . |
|
|
Т о гд а |
будем иметь с л е |
|
|
дующие |
выражения |
|
|
( р и с . |
9 5 ) : |
|
П |
П |
С+Р і ) Хп7і (Ус+ |
гсхт і °h + |
134
где |
itc |
- |
скорость центра масс 5 |
точки |
гп± |
|
t//r; |
- |
относительная скорость |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
Рассмотрим каждое слагаемое в последнем выражении |
||||
|
П |
|
п |
|
|
|
|
ІЧ |
|
г = / |
|
|
гс |
и (?с |
не зависят от |
суммирования, как радиус-вектор |
|||
и скорость |
центра м асс. |
|
d |
|
||
[. |
£ |
*схті Ч(г>^с*Е ”>і |
ZcX^ i( Цтг Pi ) |
* |
||
|
2 |
|
|
|||
|
І=І |
|
=/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
( А 1 Д ) = 0 |
|
|
|
|
|
= 7 X |
|
так как
і . Е Р і Хт г * і " = Кс
'г
І у - |
Е Р і х ^ |
момент количества движения системы относительно цен тра м асс.
п
^ |
С/= Ö . |
Следовательно, |
получим |
(23) |
K = zcä M isc + Kc |
||
где г^х/Ис-', |
- момент количества движения центра |
|
|
м асс. |
|
135
Теорема о выражении кинетического момента. Момегт количества движения материальных точек называют к к - н е т и ч е с к и м м о м е н т о м . Кинетический мо мент системы, совершающей сложное движение, геометри чески складывается из кинетического момента поступатель ного движения вместе с центром масс и кинетического мо мента, вычисленного относительно центра м асс.
§ 8. Теорема об изменении кинетического момента. Первые интегралы
Для каждой точки системы можно записать уравнение
Ньютона |
тж |
+7; |
. |
Умножим его на г- |
вектор- |
НО, при |
ЭТОМ получим |
по |
всем точкам |
» nP°“ |
|
суммируем это |
выражение |
|
Известно, что главный момент внутренних сил равен нулю, следовательно:
ПП
136