Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 1
где |
& |
|
- равнодействующая всех |
|
сил, действующих на |
||
Но |
W |
- |
Т ЧКУ* |
|
_ |
dff |
и уравнение |
|
0 |
|
|
||||
|
ускорение, а оно равіе |
|
|
а,, |
|||
запишется |
так: |
1Ѵ= |
|
||||
|
|
|
|
||||
так как т - масса точки постоянная величина, то ее можно поднести под знак производной
с/ / |
^ |
|
(8) |
Выражение ( 8) - теорема об изменении количества движения точки. Читается она так: производная по време ни от вектора количества движения точки равна равнодей ствующей всех сил, приложенных к точке.
Если равнодействующая всех сил, приложенных к точке, равна нулю, то количество движения точки остается посто
янным по величине и направлению. |
co n st |
|
||||||||
Если |
о~=0 |
|
, то |
|
£ =/ |
77 |
|
. |
||
|
|
8 |
|
г> = |
|
|||||
Равенство ( ) можно записать в другом виде: |
||||||||||
& d t |
- |
|
|
d (m V -)-S:d t |
7 |
|
(9) |
|||
|
|
называется |
элементарным импульсом силы. |
|||||||
Из равенства ( f ) |
сле^рет, |
что |
элементарное прирадеиие |
|||||||
вектора количества движения течки |
равно |
элементарному |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яврЗвееу |
силы. |
Проинтегрируем равенстве |
(? ) |
|||||||
127
или
t
ГІ - QbO= о . |
(10) |
J |
|
Выражение (10) - теорема об изменении количества
движения точки в интегральной форме. t
$ o lt - импульс силы.
о
Выражение (10) можно словами определить так: изменение количества движения точки равно импульсу силы, действу-
щей на точку.
§5 . Количество движения системы материальных точек. Теорема об изменении количества движения.
Первые интегралы
Рассмотрим |
систему, состоящую |
из |
п |
точек. Для |
|||||
каздой точки можно |
записать |
^ |
|
£?- |
|
- количество |
|||
движения |
|
точки |
системы. |
|
|
|
|
||
г |
|
|
|
|
|
||||
Тогда для |
всей |
системыа |
|
|
|
|
( I I ) |
||
- количество движения системы. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
Определим, |
как |
можно вычислить вектор <3 : |
|||||||
|
П |
|
п |
П |
|
J - |
|
|
|
1 2 8
По формуле (4)
|
т .е . |
Q=M<SC . |
(12) |
Количество движения системы материальных точек рав |
|
но количеству движения центра м асс. |
Если центр масс на |
ходится в покое, то количество движения системы равно нулю. Например, если тело вращается вокруг оси , прохо дящей через центр м асс, количество движения системы (тела) будет равно нулю, хотя количество движения его точек и не равны нулю (рис. 9 3 ).
Вычислим производную по времени от выражения (12)
|
по |
теоремеfAWcо =движенииR ie) ѵ |
центра масс |
||
Рис. 93 |
значит |
dQ _п (е ) |
(13) |
||
|
- |
d t |
вектор |
||
Равенство (13) |
главный |
внешних сил. |
|||
- теорема об |
изменении количества |
||||
движения системы . |
, |
то |
|
|
|
Если |
R ce^O |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
129 |
Q = c o n s t . |
( 1 4 ) |
Равенство (14) является первым интеграяом равенства (13) в векторном вале м называется законом сохранения количества движения системы.
Из равенства (13) и (14) следует, что внутренние силы не могут изменить количества движения системы (а количества движения отдельных точек внутренние силы ме
няют). |
R e= 0 |
, то и |
Х е= 0 |
j |
У е= 0 7 |
9 |
Если |
|
|
|
|
значит |
(?_ |
= |
const, |
|
|
X |
|
7 |
( 1 5 ) |
|
Qp-const у 0,г- const. |
|||
Равенства (15) - первые интегралы теоремы об изме нении количества движения системы в скалярном виде.
Запивем теорему об изменении количества движения системы в другом виде. Проинтегрируем уравнение (13)
яt
о
и получим
(к)
Формула ( Іб ) - это теорема об изменении количества движения системы в интегральном виде.
130
§ б . Момент количества движения точки. Теорема об изменении момента количества движения.
Следствия теоремы
Моментом количества движения точки называется век торное произведение радиус-вектора точки на количество движения этой точки (р и с. 94):
кд= 7 X (£ = 7 Х т О - |
|
|
|
|
(17) |
|
|||
|
Так как момент коли |
|
|||||||
|
чества движения - вектор, |
|
|||||||
|
то его можно спроектиро |
|
|||||||
|
вать |
на координатные |
|
о си . |
|
||||
|
f<0=7X(^ = ? X т ѵ |
|
|
|
|||||
|
раскроем , как определи |
|
|||||||
|
ітель |
/ |
а |
г (угпі - ъm jp+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) + |
|
h |
X |
% г = |
+j-(zrr>x- Х т г |
||||||
|
. |
|
# |
+ |
іе |
|
£ |
|
|
|
т х |
|
m2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(хт |
|
—j^mx). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как всякий вектор можно представить как сумму трех векторов, то к0=к0зСі+ k0J +koi к . Сравни вая оба варианта для ка , приравняем коэффициенты при одинаковых ортах и получим:
™ (у г - г#) V |
1 |
|
rт |
n ( z x - x z ) ;■ |
» |
ІЗ І
