Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
h ?, |
- |
декремент колебаний; |
Случаи |
- |
логарифмический декремент колебаний. |
( I ) |
и (2) дают апериодические движения. |
§3 . Вынужденные колебания материальной точки в среде, сопротивление которой пропорционально
первой степени скорости
На точку |
действуют |
силы |
(рис. 120): і ) ввсстанал- |
|||||
ливающая сила |
& |
; |
2) |
сила |
сопротивления среды |
Я |
; |
|
|
? |
|
й |
/ |
? |
С , , |
|
|
Рис. 120
3) гармоническая возмущающая сила 5 ^ ■>
Дифференциальное уравнение движения точки будет (по второму закону динамики):
т х= - C x -$ x + H sin (to t+$ )
или, перенося все з одну старому и деля на массу, пвлучим
jc + 2 h itk 9x=Ht sii*{U>t-rf) , (ЗС)
189
где |
|
|
2h = v> |
•> |
|
С_ |
|
И |
■ • |
|
|
|
|
|
т |
|
|
т |
|
/77.. |
|
|
|
Уравнение (20) неоднородное, а это значит, что его |
|||||||||||
решение будет равно сумме решений: I ) |
общего |
решения |
|||||||||
однородного уравненияхи= 2) |
частного решения неоднород |
||||||||||
ного |
уравнения, |
т .е . |
|
зс,+х2 |
- |
|
|
|
|||
Будем рассматривать |
случай |
Ä0> |
, |
следовательно: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
гдв |
|
|
, |
x^Nsin (cot + S) у |
(#) |
|
|
|
|
|
|||||
д |
|
- |
амплитуда вынужденных колебаний; |
|
|
||||||
N |
|
смещение фазы. |
|
S |
|
|
|
|
|||
|
|
- |
|
|
|
|
|
||||
Для |
определения |
N |
и |
|
подставим |
( * |
) в урав |
||||
нение |
|
(2 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin(cot+'$)=sin ^(cot+$)+( |
- |
|
|
|||||
|
|
-s ir 2(x> t+ $ )c o s ($ -S )+ c o s (c o t+ ())s in ( f - S ) |
у |
||||||||
|
|
- Ncoisin(cüt+ü)+2hcö Neos(a>t+è) |
Nsin(cOtfS) = |
||||||||
- H0sin(tot+S)cos(^-S)*/i0cos(<x>ti-b)sin(^-S) •
Приравниваем коэффициенты при одинаковых синусах и косинусах
190
|
|
|
(.ä \-cO2)N=Hoc0S (fr-S) |
I |
|
|
|||
|
|
|
2 h cO N—H0s i n ( t f - S ) ? |
|
|
||||
из уравнений ( * |
Ф ) |
получим |
N |
и |
S |
|
|||
|
|
|
н ‘ |
|
|
|
|
Н а > |
|
/Ѵ= ]j(Ä2o-cü2)2i-^S?2u) |
|
|
|
Л2 |
(2 1 ) |
||||
|
|
|
Л■к02 -со |
||||||
|
Следовательно, уравнение вынувденных колебаний |
||||||||
примет |
«ид: |
|
|
и |
|
|
• |
||
|
|
|
лг„=JІ/(ЛІ,-сог) „ ■■ |
sin jcoStS) |
|||||
|
|
|
|
|
гі - И га)* |
|
|
(22) |
|
07 |
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от величин |
||||||||
д |
Ä |
|
• Исследуем амплитуду |
іынужденных колебаний: |
|||||
|
7cö |
|
|
н„. |
|
т |
? |
|
|
|
|
|
|
/Ѵ= |
|
|
|||
где |
// = — |
|
|
|
|||||
2 |
СО |
|
Аі |
Ь2 |
|
||||
|
I = К г > |
|
f i - j r |
|
|||||
|
^ |
|
(С |
|
|
|
|
|
|
і
=т=с/ . (23)
Выражение (23) - коэффициент динамичности.
Определим |
ттх |
f ( z ) = ( 1 - z 3) + t e 2jd |
|
2а2 |
I9 I
Находим первую и вторую производную от f
р'(г)=-^г (/-г2) +8zp2 f % ) = -b -H 2z2+ 8ß2.
|
Приравняем |
р~42(i-i2)+8zfi>2=0нулю |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
'(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
st= 0 |
/ |
Т |
f |
|
г |
j |
1 |
• |
|
|
|
||
и |
|
|
гг~ i j ~2ß> |
уЗ с |
|
|
|
|
||||||
Определим |
р “(г) |
при |
г 2 |
|
'• |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f"(i)~-b+12 ( / - 2ß г) +Sp2= |
12-2tiß2+8p2=8- ібр=8(1~2р2) . |
|||||||||||||
|
Чтобы |
N |
было максимально, |
/ ( г ) |
должно |
быть ми |
||||||||
нимальное. |
Значит |
р " > 0 |
|
» |
гт .е . |
|
1~2р2> О |
• |
Макси |
|||||
мальная |
амплитуда |
будет |
при |
< |
у |
|
|
(рис. І 2 І ) . |
Значе |
|||||
ние |
2=1 |
, т |
.ь .8 0-со |
|
- |
случай |
резонанса, |
но |
ампли |
|||||
туда будет |
максимальна не |
при резонансе, а раньше. |
||||||||||||
*г 1 |
О |
Рис. І2 І
192
Движение точки складывается из двух вырааений
и |
j i |
и |
$ |
- |
еяределены по фориуле (2 1 ). |
Величины |
3 |
N |
|
|
|
||||
|
енределятся из начальных условий. Но |
с течением |
|||||
времени первое слагаемое станет малым и останутся толь
ко установившиеся вынужденные |
колебания. |
|
I . |
Вынужденные колебания - |
колебания незатухающие. |
? . |
'.астоті вынужденных колебаний - частета возму |
|
щающей силы. |
|
|
3 . |
Вынужденные колебания не зависят от начальных |
|
условий. |
|
|
А. Амплитуда вынужденных колебаний, при наличии со - противлеіия, конечна.
Если сопротивления среды нет, то картина несколько
меняется. |
т&кее: |
ДифференциальноеX + А \ х уравнение~ Н л $ і п ( c oбудетt 1- i f ) |
|
|
('"О |
С_
т
Решение уоавнения (24) равно сумме реиений:
Х - Х І + Х 2 j
x/ = £/cosA0t + |
? |
x2=-Nsin (cot i-S ) t
|
X |
= C'CosAgt +C ^ s i n A g t + N s i n ^ t o i + $ ) . |
( 0 5 ) |
|||||
Для того чтобы определить решение |
и |
(2 5 ), прежде |
надо |
|||||
найти |
х : |
. |
Для определения |
N |
S |
надо |
подетч- |
|
|
|
|
|
|
||||
1і |
193 |
вить |
х 2 |
в |
(.24) |
или воспользоваться |
формулами (2 1 ), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПОЛО НИВ В Н И Х |
|
іг |
* |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
- |
(26) |
|
М -\Ä0 -aJ |
|
|
* |
|
|
|
|
|
||||||
|
“ '— г |
|
|
to (f - â )~ 0 , |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
$ |
|
|
|
|
(27) |
|||||
Ct |
|
C2 |
|
X2 = Ä |
f ^ |
Si/7(u>t* f ) |
’ |
|
||||||
|
иx = |
|
|
онределим |
из начальных условий. |
|||||||||
|
|
|
C,cosÄ0ttC 2sin]i0t |
- |
собственные |
колеба |
||||||||
|
X2 |
|
— Н° |
|
Sin(cüt+ $) - |
|
ния, |
а |
|
колеба- |
||||
|
шЛ ;-а> |
|
|
|
|
|
вынужденные |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния.h = 0 |
, |
представ |
|
Для вынужденных колебаний, когда |
|
|||||||||||||
ляет |
интерес |
случай |
- |
со=Л 0 |
- случай резонанса. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частное решение уравнения (24) в этом случае надо йе нахъ в таком виде:
Для |
|
X2= |
6tsif7(cO t + £ ) • |
(* * ) |
||
определения |
б |
н <5 |
надо |
(# *• ) подставить |
||
в (2 4 ), |
»вменив |
Ло |
=со |
> |
|
|
|
|
|
|
|
||
x2= gsin(cot+6)+t€cocos(cot+6)
x~u>26co$(töt+£)-t6cü sin(u>t+£) j
2ca6cos(cot^£)-j£6^fftrr(aft7Zj+
1 9 4
