Файл: Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с.pdf

(например, ось трубы или желоба), то их взаимное положение исследуют рассмотренным способом.

На рис. 58 показам пример исследования взаимного положе­ ния прямой и некоторой поверхности вращения, имеющей гори- зоитально-проецирующую ось. В данном случае через прямую а невозможно провести вспомогательную плоскость, образующую в пересечении с данной поверхностью простейшую линию (та­ кую линию — окружность — дала бы горизонтальная плос­ кость, но через данную прямую ее нельзя провести). Поэтому проводим через прямую а фронталы-ю-проецирующую плоскость О и строим сечение с помощью ряда горизонтальных плоско­ стей-посредников Г 1, Г2, Г3. На данной поверхности вращения они образуют окружности, видимые в натуральную величину на го­ ризонтальной проекции, причем их радиусы легко измерить на

сти-посредники не нужны, так как эти точки лежат на пересе­ чении контурных образующих с плоскостью 0. Однако плоскости

1

ней), ограниченных прямыми линиями (ребрами). При построе­ нии линии пересечения гранных поверхностей имеют дело с пов­ торяющейся задачей о пересечении пластинок (см .'гл. I, п.5). Поскольку в пересечении образуется ломаная линия, изломы которой лежат на ребрах одной или обеих пересекающихся гранных поверхностей, то ее построение сводится фактически к определению точек пересечения ребер одной поверхности с гра­ нями другой, т. е. точек пересечения прямой с плоскостью (см.

гл. I, п. 6 ).

При пересечении гранной и кривой поверхностей от каждой

48

отдельной грани, входящей в пересечение, на кривой поверх­ ности образуются участки плоских сечений, т. е. в этом случае повторяется несколько раз задача о построении плоского сече­

ния заданной кривой поверхности (см. п. 1 1 данной главы)-

Общий принцип построения линии пересечения поверхностей

Общий принцип построения в данном случае аналогичен принципу построения линии пересечения плоскостей. Аналогия состоит в применении поверхностей-посредников, которые и в том, и в другом случае пере­

прямые линии. Кроме того, ко­ личество проведенных плоскостей-посредников ограничивается двумя (см. гл. I, п. 5).

В случае пересечения кривых поверхностей количество по­ верхностей-посредников неограничено и зависит от требуемой точности построения кривых линий пересечения заданных по­ верхностей.

Кроме того, чтобы в пересечении заданных поверхностей с поверхностями-посредниками получались простые линии, форма которых заранее известна (прямые линии или окружности), в качестве посредников можно использовать не только плоскости, но и сферические поверхности.

Исходя из сказанного, можно сформулировать принцип пост­ роения линии пересечения поверхностей в обобщенном виде.

Для построения линии пересечения поверхностей последние пересекают поверхностями-посредниками, выбранными так, чтобы в пересечении с заданными поверхностями они образо­ вывали простейшие, заведомо известные линии (прямые или окружности). На пересечении этих вспомогательных линий на­ ходят точки, общие для обеих заданных поверхностей.

Этот принцип распространяется на любые пересекающиеся поверхности. Однако в каждом конкретном случае следует прежде всего выявить возможности для упрощения его приме­ нения.

Примеры построения линии пересечения кривых поверхностей

На рис. 60 показаны два пересекающихся конуса вращения с вертикальными осями. В качестве вспомогательных к ним под­ ходят горизонтальные плоскости-посредники, перпендикулярные осям конусов и поэтому пересекающие их по окружностям. Прежде чем воспользоваться этими плоскостями, следует опре-

делить по высоте границы линии пересечения, т. е. найти ха­ рактерные точки линии пересечения — высшую и низшую. Эти точки 1 и 4 в данном случае легко отметить как точки пересече­ ния контурных образующих. Последние, строго говоря, можно рассматривать как полученные пересечением данных поверхно­ стей плоскостью-посредником, проведенной через оси вращения. Оси вращения лежат в плоскости Ф фронтального уровня, по­ этому точки 1 и 4 находим без каких-либо построений.

Для получения нескольких промежуточных точек проводим горизонтальные плоскости-посредники Г 1 и Г2. В пересечении с данными конусами они образуют две пары пересекающихся окружностей. Радиусы этих окружностей измеряем на фрон­ тальной проекции. На пересечении окружностей находим иско­ мые промежуточные точки 2, 3, 5 и 6 линии пересечения.

Построения упрощаются, если одна из поверхностей — про­ ецирующая. Так, если для пересекающихся сферы и горизон-

50

талы-ю-проецирующего цилиндра (рис. 61) применить горизон­ тальные плоскости-посредники, то одинаковые окружности, по которым они пересекут цилиндр, на горизонтальной проекции совпадут с проекцией самого цилиндра. Построения тогда сво­ дятся к проведению окружностей на поверхности сферы. Здесь, как и в предыдущем случае, сначала отмечаем верхнюю и ниж­ нюю точки линии пересечения 1 и 5. Затем проводим вспомога­ тельные плоскости Г 1, Г2 и Г3 и получим ряд промежуточных точек искомой линии.

На рис. 62 и 63 приведены примеры определения точек пере­ сечения образующих линейчатой поверхности с другой поверх­ ностью. В одном случае (см. рис. 62) образующие проведены на наклонном цилиндре, что целесообразнее, так как другой, больший цилиндр — горизонтально-проецирующий; поэтому он удобен как поверхность, с которой определяют точки пересече­ ния прямых. Выбор образующих на наклонном цилиндре не

случаен. Прежде всего были намечены образующие, «несущие» характерные точки, которых в данном случае значительно больше, чем в предыдущих. К этим образующим относятся: об­ разующие 3 и 9, контурные на фронтальной проекции — им принадлежат нижняя и верхняя точки линии пересечения; обра­ зующие 1 и 6, контурные на горизонтальной проекции — им принадлежат экстремальные точки (крайние справа) видимой

и невидимой частей линии пересечения; образующие 4 и 8, ле­ жащие в одной фронтальной плоскости с контурными образую­ щими — с их помощью получим экстремальные точки (крайниеслева) видимой и невидимой частей линии пересечения (здесь образующие обозначены номерами принадлежащих им точек).

Для построения фронтальных проекций образующих 4 и 8 использован размер г/ 1 («глубина»), параллельный одноименной оси координат. Для этого с горизонтальной проекции этот раз-

Р ііс . 64. Пример пересе­ чения разноименных про­ ецирующих поверхностен

мер был перенесен сначала на дополнительную проекцию на­ клонного цилиндра, а по ней затем построены фронтальные про­ екции соответствующих образующих (получение дополнитель­ ных изображений подробно рассмотрено в следующей главе). На дополнительной проекции показаны также образующие 2, 5, 7 и 10 с одноименными промежуточными точками. Горизонталь­ ные проекции этих образующих построены с помощью размера у2. Искомые точки пересечения найдены на горизонтальной про­ екции после проведения образующих; далее точки были перенесены на фронтальную проекцию и соединены плавной кривой.

Видимость участков линии пересечения на фронтальной про­ екции определяется характерными точками 3 и 9. В этих точках линия пересечения огибает контуры наклонного цилиндра, пере­ ходя из видимого участка в невидимый.

Для построения линии пересечения наклонного усеченного конуса и цилиндра вращения (см. рис. 63) на поверхности ко­ нуса проведен ряд образующих, и в том числе являющихся кон­ турными на фронтальной проекции. Образующие проведены че­ рез вершину конуса и точки, намеченные на его верхнем основа­ нии. В данном случае доступность вершины усеченного конуса роли не играла, так как ее горизонтальная проекция находится в пределах изображения и, таким образом, сначала могут быть проведены горизонтальные проекции образующих.

52

В данном примере, как и в предыдущем, целесообразно ис­ пользовать проецирующее положение одной из пересекающихся поверхностей. Точки пересечения образующих конуса с фрон- тально-проецирующей поверхностью цилиндра выявляются на фронтальной проекции при построении образующих. Точка А является точкой касания соответствующей образующей конуса с поверхностью цилиндра.

На рис. 64 приведен пример пересечения разноименных прое­ цирующих поверхностей: фронтально-проецирующая цилиндри­

Рис. 65. Примеры пере­ сечения поверхностей вращения по плоским кривым:

а — цилиндры одинакового

диаметра с пересекающими­ ся осями пересекаются по эллипсам; б — две соосные

поверхности вращения пере­ секаются по окружностям

ную проекции линии пересечения строить не нужно, так как они сливаются с одноименными проекциями соответствующих поверхиостей. По двум проекщгям точек линии пересечения можно построить профильные проекции этих точек, и, следовательно, участков линии пересечения. Следует заметить, что третью, в данном случае, профильную проекцию точки (или любого дру­ гого объекта) по двум данным проекциям рационально строить, не используя внешних осей координат, а «привязывая» эти точ­ ки к плоскостям, имеющимся на самом объекте, например к плоскостям симметрии (см. рис. 64). Положение горизонтальной и профильной проекций точек 1, 2 и 3 определяется размерами соответственно у 1, у 2 и у3, параллельными одной из осей коорди­ нат. Эти размеры перенесены с горизонтальной проекции на профильную на уровне соответствующих фронтальных проекций.

На рис. 65, а, б приведены примеры, когда в пересечении поверхностей вращения образуются плоские кривые — эллипсы или окружности. На рис. 65, а показаны пересекающиеся ци­ линдры одинакового диаметра, оси которых пересекаются. Если их пересекающиеся оси лежат в плоскости уровня (в данном случае, фронтального), то цилиндры пересекаются по эллипсам, лежащим в проецирующих плоскостях. В данном примере линия пересечения образована двумя полуэллипсами, лежащими во фронтально-проецирующих плоскостях. Поэтому фронтальная проекция линии пересечения образуется при соединении точек

А% 0% и В%.

53