Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

жение в алгебре

зФ через хо

у.

а Ф О и

Зафиксируем

какой-нибудь

элемент

рассмот­

рим преобразование

х—*аих.

Это

преобразование

яв­

ляется,

очевидно, линейным. Обозначим его

А.

Так

к а к

д а н н а я

алгебра

есть алгебра с делением, то

для

пре­

образования А существует обратное преобразование

Л - 1 .

Введем для элементов нашей алгебры новый закон

умножения

x.y=A-1(x)aA-i(y).

(2)

Алгебра

с

умножением

ху

снова

является

алгеброй

с делением

(из

однозначной

разрешимости

уравнений

а а х —

Ъ и

х а а —

Ъ

вытекает

однозначная

разреши ­

мость уравнений

ах

=

Ь

и

ха

—

Ь).

В этой

алгебре

элемент

ап

а играет

роль

единицы

(доказательство

см.

на стр. 111, где

рассматривается

аналогичная

конструк­

ц и я ) . Но единственная алгебра

с делением, о б л а д а ю щ а я

единицей, — это

алгебра

комплексных

чисел

(§ 2) .

По ­

ные числа,

а операцию

х-у

как

обычное

умножение

ком­

плексных

чисел.

Обозначая

Л _ 1 ( х )

через

и

и Л - 1 (у)

через v,

пере­

пишем (2)

в

виде

ние

и о v = Л (а • v)

(3)

и покажем, что алгебры с умножениями

и

uv

и

и

° v

изоморфны.

Д л я

этого

запишем таблицу

умножения

о в

каком -

нибудь

базисе

еи

е2 и докажем," что о н а ^

точности

сов­

падает

с таблицей

умножения

•

в базисе

е\ =

Л -

1

( e j ,

е2=А~х{е2).

пусть

Действительно,

ei ° et = аех

- f ре2 .

Тогда

e'ine'i

=

A (e'i) • А

(в/) == e;

• e, — A~]

(в, ° e,)

=

=

Л - 1 (ae,

+ P«2 ) =

« Л - 1

(в,) +

Р Л - 1

(в2 ) =

ae{ +

ре2 ,

что

и

доказывает совпадение

таблиц

умножения.

Итак, мы показали, что исходная алгебра s4

изоморф­

на

алгебре

с умножением

(3),

где u-v

есть обычное

про­

изведение

комплексных чисел,

а Л — некоторое

линейное

преобразование,

д л я которого

существует

обратное

пре­

нием. Таким

образом,

задача

перечисления

всех

алгебр

с делением размерности 2 свелась к тому,

чтобы

среди

алгебр (3) выделить все неизоморфные между

собой.

3°. Отыскание

алгебры

s4

(a, P,y)>

изоморфной

алгебре s4.

Н а м

необходимо

в алгебре (3) найти такой

базис k\, k2,

в котором таблица

умножения

имеет вид (1)

(с некоторыми ограничениями на а, р,

у).

Запишем

сначала таблицу

умножения

алгебры

(3) в базисе

Поскольку

е, =

1,

e2

=

i.

в, о в, =

Л (в, :е,) =

Л(1),

е2ое2 — А (е2

• е2)

=

А (—1) =

— Л (1),

е, ° е 2 =

Л ( е ,

• е2)

=

Л (i),

то, полагая

Л (1) =

a - f f t t ,

A(i)

=

c-\-di,

будем

иметь

в, о в[ =

• ав(

+

Ье2,

е2

о е 2

=

— ае, — йе2 ,

(4)

elo-e2—

ce{-\-de2.

kx ° ky —

aft,

+

р^2>

k2°k2 — — ak{

— pft2 ,

(5)

kl°k2=

6&! +

yk2;

иначе говоря, существуют

ли базисы, д л я

которых

k[ о k\ =

— k2

о k2.

(6)

Т ак

как

равенство

(6)

равнозначно

A(ki-k])=>

=

—

A (k2

• к2)

или

A (k{

• Л,) =

А (—

k2

• k2),

то

из

суще­

ствования

обратного

п р е о б р а з о в а н и я

Л - 1 - с л е д у е т ,

что

kj

• kx

=

— k2

• k2,

или

k2

=

± ik\.

"

Следовательно,

все

базисы,

в

которых

таблица

умно-

жения

имеет

вид

(5),

суть

* , = f ,

k2=±if,

(7)

где f — произвольное

(не

равное

нулю)

комплексное

число:

Базисов (7), разумеется, существует бесчисленное

множество.

Сейчас

мы

покажем,

что среди них обяза­

тельно' найдется

такой, в котором

выполняется

условие

Р =

б,

т.

е.

базис,

в

котором

таблица

умножения

имеет

вид

(1).'

Д л я

этой

цели

примем

снова

за

исходный

базис в\

=

\,

е2

= i,

а искомый

базис запишем в виде

&i =

Р ( c o s Ф +

* sin ф),

k2 =

±

ip (cos ф +

i sin ф).

Чтобы отыскать р и ф, мы д о л ж н ы :

•

a)

вычислить произведение

исходя

из

фор­

мул

(4), и полученный элемент разложить

по k\

и

k2;

b)

вычислить

таким

ж е

образом

произведение ftj о Л2

и

полученный

элемент

разложить

по kx

и

k2;

равнять коэффициенту при kx

во

втором разложении .

Эту вычислительную' работу,

мы

предоставляем сде­

Очевидно,

это

условие

определяет угол

ф с точностью

до слагаемого

вида

яп

и, значит, определяет на пло­

скости

два

луча (рис.

17),

составляющих

одну прямую

1\. Н а

этой

прямой

л е ж и т

вектор, и з о б р а ж а ю щ и й ком-

плексиое число kx

(или,

как

мы

будем

говорить,

век­

тор & i ) . Другой вектор

k2

=

±ikx

лежит

на

своей

пря­

мой 12. Длины обоих векторов

совпадают.

Итак,

приходим

к следующему описанию всех бази­

сов k\, k2,

в которых

таблица

умножения

имеет вид

(1).

Базисный

вектор

k\

выбирается на однозначно опреде­

ляемой, прямой U,

базисный вектор

k2 — на

перпендику­

лярной прямой 12; длины

р векторов д о л ж н ы

быть

одина­

ковы. Заметим, что

при

данной длине возможны

ровно

4 искомых базиса

(рис.

18).

Рис. 18.

Теперь

следует сказать, что

если от

базиса ku k2 мы

~ переходим

к другому базису

Kku %k2,

где К — положи­

таблице умножения (1)

умножаются

на К. Поэтому,

если наложить на базис

дополнительное

условие

kx =

± k,

k2 =

± ik,

для которых таблица умножения имеет вид

&i о kx

—

afe, + \°>k2,

k2°k2

——

afej — p&2>

(1)

fti 0 k2

=

pft, - f

Y*2.

причем

'

a

Y

- p

2 = ±

1.