Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
Однако по. смыслу ее определения кик накоплен ной ве-
роятнооти, функция распределения дли любой случайной величи
ны являетоя неубывающей функцией.
По о кольку
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. '•) |
Нетрудно видеть |
такие, |
что |
|
|
|
|
|||
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
i |
|
|
|
носит название функции |
плотности |
распределения. |
Согласно |
||||||
(1.5) произведение p{y')dy' |
представляет |
вероятность |
|||||||
наблюдения |
олучайной |
величины |
у |
в пределах |
значений |
||||
у'* % * у'+ |
dtf' |
( ° м « |
( 1 . 3 ) ) , |
т . е . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
Р(а |
* у |
« 6) 9 Jp(tf)dq'. |
|
(1.6) |
||||
Очевидно [р(у')^у'я 4- |
а |
|
|
|
|||||
Хотя, "строго |
говоря, функция |
плотности |
распределения |
||||||
может применяться |
лишь для |
характеристики |
случайных |
||||||
величин о непрерывными |
генеральными совокупностями, можно, |
||||||||
используя |
понятие |
|
S - Функции Дирака, ввести |
функцию |
||||
плотности распределения и при описании дискретных |
контину- |
|||||||
умои,определив |
р(у) |
|
к а к |
|
|
|
|
|
|
|
р(у) |
- |
Zp^Siy-lJ |
|
. |
(1.7) |
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
где |
/>• |
- вероятность |
наблюдений |
отдельных |
значений |
|||
' |
|
|
- |
Функция Дирака. |
|
Поэтому |
|
|
|
|
Р ^ 4 |
у . ' |
- Е л |
• |
|
( і - 8 ) |
|
1.3. |
Параметры |
распределений |
|
|
|
|||
Среди числовых характеристик олучайных веанчин наиболее
показательными являются математическое ожидание и диоперсня олучайной величины.
Математическое ожидание Му (обозначается также ij )
случайной величины определяется как среднее по генеральной совокупности значение:
м
где, как и ранее, под символами i o e понимаютоя предельные
значения в генеральной оовокупности ( в случае особенности бе рется главное значение интеграла).
Для дискретной величины Му |
определяют как |
|
|
|
|
* V |
ї • Е * л |
. |
. |
|
< 1 Л 0 > |
распространяя суммирование на вое возможные значения |
у |
. |
|||
Дисперсией oD/yJ |
случайной величины навываетоя |
матема |
|||
тическое ожидание (т.е.среднее значение) квадрата |
отклонения |
||||
этой величины от ее математического ожидания:
|
-м(у-Му) |
= (і, - д ) |
• |
|
|
( L I D |
|||
аметиы, что |
математическая |
операция усреднения любом |
функции |
||||||
по нормированному распределению ( т . е . |
при |
jpdy'sl |
) |
||||||
определяется |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
и,соответственно, |
для |
дискретних величин, |
|
|
|
|
|
||
Поэтому |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оо |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
(1.13) |
|
Для вычислений полезно |
соотношение |
|
|
|
|
|
|||
Величина |
£ |
|
|
называется стандартным |
или |
средним |
|||
квадратичным |
отклонением. |
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, |
чти |
tj |
и |
существуют |
не |
для |
всех |
расщ |
|
делений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4.Рассеяние наблюдаемых значений. Неравенство
Чебышева
Дисперсия «О является очень важной характеристикой олучайной величины. Она описывает рассеяние наблюдаемых значений случайной величины в окрестности ее среднего зна чения (если, конечно, у и 2) существуют). Степень рассеяния, а именно, вероятность наблюдения значений у ' слу-
чайной величины в зависимости от отклонения |
|
ij |
от |
средне |
|||||||||||
го |
значения |
LJ , |
характеризуется |
следующим |
неравенством |
||||||||||
Чебышева: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого распределения с конечными |
значениями |
Ц и |
||||||||||||
|
вероятность |
события |
| |
у | |
ї- |
, |
где |
|
д |
~ |
число, |
||||
большее единицы, |
не |
превосходит |
' А * |
, |
т . е . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства последнего отметим сначала одно свой- |
||||||||||||||
стио случайной величины, которая может принимать лишь |
неотри |
||||||||||||||
цательные |
значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
Z |
- |
такая |
величина, |
тогда |
для |
любого |
положи |
||||||
тельного |
числа |
6 |
справедливо |
неравенство |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P(Z |
* 6) і |
Z/g . |
|
|
|
|
|
( I . I 5 ) |
||||
|
Действительно, |
согласно |
(1.4) и |
( 1 . 6 ) , |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
P ( z |
» 6)ш fF(z)Jz |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
р |
- |
плотность распределения |
Z |
|
. С другой |
сторо |
||||||||
ны, |
при |
Z г |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z-fz'pJz'* |
|
|
Jz'pdz* |
|
|
fSpc/z'-$fpJz' |
|
|||||||
|
° |
|
|
|
s |
|
|
|
s |
|
t |
|
|
|
|
(так как в области интегрирования |
Zi&) |
|
, |
откуда |
и |
следу |
|||||||||
ет |
неравенство ( I . I 5 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Заметим теперь, |
что |
неравенства |
|
^ | |
» |
Q |
|
и |
||||||
(у-у) |
|
равносильны. |
Следовательно, |
испольвуя |
( I . I 5 ) , |
||||||||||
