Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
Это соотношение |
часто используется |
для решения обратной |
|||
задачи: исходя из наблюдаемой величины |
Л/ |
оценить среднюю |
|||
интенсивность событий |
А |
. Соответствующие |
оценки |
произво |
|
дятся с помощью табличных значений квантилей |
А/ |
биноми |
|||
ального распределении (см.гл.П). |
|
|
|
||
Если число объектов |
наблюдения очень велико ( П. » I ) , |
||||
то вместо (1.23) целесообразно руководствоваться асимптоти
ческими |
формулами. |
|
|
Распределение редких событий, наблюдаемых в течение вре |
|||
мени t |
, описывается |
соотношением |
Пуассона: |
|
P(N) |
* |
<!•*> |
которое получается Ио (1.25) асимптотическим переходом при
п.—»•«>, но |
при услови", |
что |
т) " |
An |
остается конечной |
|||
величиной. Таким |
образом, |
піраметр |
і) |
характеризует |
среднюю |
|||
интенсивность событии, |
Р |
- |
вероятность наблюдения |
А/ |
||||
событий за |
время |
І- . Очевидно, |
среднее число N * *)t |
|
||||
Разумеется, |
LXO подтверждается |
прямыми |
вычислениями: |
|
||||
Дисі^рсия резул:татов в статистике Пуассона равна
£(N)=]~(N-N)ZP(N)=H |
шй . |
(і . 28) |
Тот же результат можно получить из (1.24) предельным перехо
дом П—- оо.
- ги -
При малых значениях |
S) |
распределение |
Пуассона |
асиммет |
|
рично относительно N = ^ |
|
(см.рис.3). При |
^ » |
I |
распре |
деление становится практически непрерывным и совпадает с нор
мальным распределением со средним значением и дисперсией,рав
ными /V |
(см . рис . 4): |
(N-N) |
.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(N)— |
т = = е |
2 R |
' |
CI.29) |
События, подчиняющиеся статистике Пуассона, обладают
вачным свойством: сумма пуассоновских процессов - также пуао-
соновокий процесс |
ио |
средним |
и дисперсией, |
равными |
соответст |
|||
венно |
сумме средних и дисперсий |
каждого из |
процессов. |
|||||
|
|
|
I |
к Д А Ч И |
|
|
||
|
1. |
Показать, |
что |
если |
С |
-постоянная величина, то: |
||
|
|
Q) С = С ; |
|
|
Ш £>(с) - О ; |
|
||
где |
у |
- л»)бая |
случайная |
величина. |
|
|
||
|
Указание: Постоянную можно |
рассматривать как |
дискретную |
|||||
случайную величину, которая принимает только одно "начение о
вероятность: , |
равной единице, |
|
|
|
2. Распределение молекул |
газа |
по |
скоростям опиоываетоя |
|
соотношением |
Максвелла: |
|
m У* |
|
|
p(V) » Const |
Є |
І к |
Т V 2 . |
Найти среднюю и |
наивероятвэйшую скорости частиц. В чем причи |
|
на их различия? |
|
|
3. Вероятность отражения вратарем пенальти |
р =1/4. |
|
Елачит ли э ю , что из ч-х мячей вратарь |
обязательно |
отразит |
||||||||||||||
один? |
Какова |
вероятность того, |
что он на самом |
деле |
возьмет |
|||||||||||
хотя |
бы один |
мяч? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч-. Вероятность выхода |
из строя одного мотора равна |
|
р . |
||||||||||||
При каких значениях |
р |
|
двухмоторный |
самолет |
следует |
пред |
||||||||||
почесть четырехмоторному- (полет продолжается, если |
работает |
|||||||||||||||
не менее |
половины |
моторов)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5. Счетчии регистрирует в среднем |
2 ч/сек . |
С какой |
веро |
||||||||||||
ятностью |
он будет |
молчать в течение |
I сек, 2 сек, 3 сек? |
|
||||||||||||
|
Решение. Ближайший |
отсчет |
произойдет между |
моментами |
t |
|||||||||||
и І + dt |
, |
если |
в |
течение |
времени |
t |
не |
будет |
1.И одного |
|||||||
отсчета, |
а затем |
в течение |
di |
произойдет |
один отсчет. |
|||||||||||
Вергятность |
обоих |
(независимых) |
событий |
равна |
е |
и |
idt , |
|||||||||
а вероятность первого отсчета в интервале £t, |
|
t + dt] |
|
^ |
||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
. Искомая |
вероятность р(1) = )е |
|
|
|||||||
|
Подставляя |
' |
=2 и |
Ь =1,2,3, |
получим |
значения: |
|
|||||||||
p(I)=0,27I; j9(2)=0,037; JB(3)=0,007. Используя полученное |
со |
|||||||||||||||
отношение, оценим среднее аначение длительности интервала |
|
|||||||||||||||
'молчания": |
i. = |
ftpdt |
• 1/у |
. Дисперсия |
интервалов:. |
|
|
|||||||||
<D(t}m |
V)* |
» Очевидно, |
разброс интервалов |
может быть |
о^ень |
|||||||||||
большим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предельная теорема |
|
|
|
2 . 1 . Функции случайных величин |
|
|
|
Используя понятие с."учайной переменной, |
введенной |
|
|
в § I , мы можем описать сколь угодно сложные множества |
слу |
||
чайных событий, рассматривая последние как системы |
или |
ансамб |
|
ли случайных величин,в той или иной степени |
взаимосвязанных |
||
между собой. |
|
|
|
Такие системы случайных величин у ( , у г |
, у а |
( |
П - |
число произвольное) будем рассматривать как функции случай |
|||
ных переменных, функпи случайны.: п е р е м е н н ы х ф ^ , . . . |
- |
||
по своей сути новые случайные величины, имеющие свои распре-
ДЄЛЄІ.ЛЯ.
Рассмотрим ряд аэорем и определений, поясняющих некото рые свойства функций случайных величин.
ІСредне, суммы случайных величин равно сумме средних этих величин:
( І У І ) " |
( 2 . D |
іі-
Для |
доказательства |
(2.1) |
|
достаточно убедиться |
в |
справед |
|||||
ливости |
утверждения HF |
+ |
- |
yt |
+ LJ2 |
. ймееы |
|
|
|||
где p f ^ / ' J / j J |
~ вероятность |
того, |
что |
случайные |
величины |
||||||
у, и уг |
принимают определенные |
значения |
у^ |
и |
|
||||||
Но поскольку функции У/эс/уа' |
|
|
и |
fp^yl |
определяют |
||||||
распределения |
величин |
Ц |
|
и |
и |
, |
то дальнейшее |
доказа |
|||