Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
имеем
что при Q - 6(j и приводит к неравенству Чебшева. Большая простота и универсальность позволяет попользо
вать неравенство Чебышева дли важных теоретических заключе ний, хотя для практических оценок оно окапывается слишком грубым.
1.5. |
Квантили |
|
|
|
Функция распределения |
|
|
|
|
|
Р - |
F(f) |
|
|
указывает |
зависимость вероятности Р |
от значении |
слу |
|
чайной переменной. Обратная |
функция |
|
|
|
|
у * - |
9(9) |
|
( М б ) |
определяет значения переменной, которые соответствуют данным накопленным вероятностям. Ути значения называются квантилями
распределения. |
Квантиль, которая |
соответствует |
накопленной |
|
вероятности Р |
, называется |
Р |
- квантиль» |
и обознача |
ется как ^ |
. |
|
|
|
Для непрерывных и дискретных распределений |
явля |
|||
ется, соответственно,решением уравнений |
|
|||
Р - j V f j / V y |
и Р(^) |
= ГРС |
(І.Г7) |
|
|
|
1.6. Нормальное распределение |
|
|
|
|
|
|
||||||
і! качестве |
примеров непрерывного |
и дискретного |
распреде |
|||||||||
лений рассмотрим |
нормальное |
и |
биномиальное |
распределения. |
||||||||
Функция плотности |
нормального |
или Гауссового |
распределения |
|||||||||
имеет вид; |
|
|
|
|
|
- а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I . I 8 ) |
Это симметричное |
распределение (рис.2) |
со средним |
значением, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
равным |
О и дисперсне? |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
нормалі:юе |
распре |
|||
|
|
|
|
|
|
деление |
обычно |
записывают |
||||
Рис.2. Нормальные распределе |
|
в виде |
( І Л 8 ) , |
заменяя уа"* |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ния при различных б'. |
|
на б " . Геометрически |
||||||||||
стандартное отклонение |
б |
совпадает |
о расстоянием |
от |
сред |
|||||||
него значения у • |
а |
до точек |
перегиба |
кривой. |
|
|
|
|||||
Для случайной |
величины |
у |
с |
чормальным |
распределением, |
|||||||
вероятности наблюдения |
ее значения в интервалах у |
t б |
, |
|||||||||
у+ 26*, у + 3(> равны сооеветственно:
Pfly - £ | « ЄГ)« 0,683;
2 6 ] . 0,955; ( 1 Л 9 )
P f l ^ - ^l * 3 б ) - 0,997 .
Эти результаты вчметно превосходят предельные нижние
значения, лытекаюдае из неравенства Чебыжевя - следотніе боль-
шей информативности о характере |
распределения ( I . I 8 ) . |
Нормальное распределение играет очень большую роль в |
|
математической статистике (см. |
§ 2 ) . Это неудивительно, иоо |
нормальное распределение описывает случайные величины, кото
рым присущи самые общие закономерности: |
непрерывность |
значе |
||||||||||
ний, равновероятность |
симметричных относительно |
и |
откло- |
|||||||||
нений, большая |
вероятность |
малых |
отклонений |
от |
у |
|
||||||
Очень часто рассматривают нормированное нормальное рас |
||||||||||||
пределение |
для |
величины |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
у-а |
|
|
|
|
|
|
|
которое имеет |
ВИД |
|
|
- -Lr- |
|
ц |
г |
|
|
|
||
|
|
|
рМ |
|
Є |
|
|
|
|
|||
Очевидно, |
U =0 |
, |
а |
Х)(и) |
= i |
(параметры |
( 0 , 1 ) ) . |
|
||||
Нормированное распределение хорошо изучено; имеются |
||||||||||||
подробные |
таблицы |
квантилей |
Up |
|
. Квантили ненормирован |
|||||||
ного нормального |
распределения |
находятся |
как |
|
|
|||||||
|
|
УР |
' |
а + |
V P ' |
6 |
• |
|
|
|
(1.22) |
|
1 . 7 . Биномиальное |
распределение |
|
|
|
|
|||||||
Биномиальное |
распределение |
или распределение Бернулли |
||||||||||
описывает дискретные события следующего типа. Допустим, что исследуется частота появления какого-либо случайного события
А при неизменных условиях в |
серии |
П экспериментов |
(испыта |
ния независимы между собой). |
Пусть |
условия таковы, |
что |
н каждом из экспериментов событие либо наблюдается, либо нет. Ясли вероятность обнаружения события в отдельном опыте
р(А) ' р , |
то в серии из П |
экспериментов |
|
следовало |
бы |
||
ожидать |
Пр |
событий. Какова |
вероятность Р |
(N) |
, |
что |
|
событие |
А |
будет обнаружено |
N раз ( / V = |
0 , I , |
, |
Л )? |
|
Заметим, что такая постановка охватывает чрезвычайно широкий класс экспериментов. Исследуется ли радиоактивный рас
пад, |
наблюдается ли рассеяние частиц в данном интервале |
у г |
лов, |
изучаются ли ядерные реакции и т . д . , во всех этих |
слу |
чаях фактически имеют дело с событиями, которые либо происхо дят, либо не происходят: радиоактивные ядра либо распадаются, либо нет в заданном интервале времени, частицы либо попадут,
либо нет в интересуюпдай нас интервал углов, реакция либо пой дет по данному каналу, либо нет и т . д .
Искомая вероятность описывается биномиальный распределе нием, которое имеет вид:
р (н) = |
Ч!— |
pN(i. р) |
. |
|
N!(n-N)! |
Г |
к } |
Справедливость соотношения (1.23) подтверждается следую
щим образом. Напомним,прежде всего, что если вероятность собы
тия А равна |
р(А)=р, |
то вероятность |
противоположного события |
||||
А ( т . е . отсутствие |
события А) |
равна |
р(к)=1 - р . |
|
|||
Теперь |
обратим |
внимание |
на то |
обстоятельство, |
что инте |
||
ресующий |
нас исход испытании может быть представлен как сово |
||||||
купность |
чередующихся событий |
А и А, в которой события А и А" |
|||||
встречаются |
N |
и |
(/г - N ) |
раз соответственно. |
Вероятность |
||
наблюдения |
такой |
последовательности |
(независимость |
испытаний!) |
|||
ГбС. ПУБЛИЧНАЯ НАУЧ. ' 0 - Т Е Х І І И Ч Е С К А Я Б И Б Л И О Т Е К А СССР
|
|
N |
л-N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна р - (1 - р) |
|
. Поскольку |
порядок наблюдения |
событий |
|||||||||||
неважен, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех |
|||||||||||||||
таких комбинаций |
со |
всевозможными |
чередованиями |
событий А и Д. |
|||||||||||
Количество возможных благоприятных комбинаций определяется |
|||||||||||||||
чмзлом |
сочетаний |
из |
П. различных |
номеров по |
N |
, |
т . е . рав- |
||||||||
|
пы |
п. I/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н о |
т і * |
'Nl(n-N)1 |
' |
|
^ т а к |
l t a K |
в |
е Р 0 Я Т Н 0 С Т |
Ь |
каждой |
из кои- |
||||
бинаций |
равна |
р |
• (1-р) |
|
, |
то,умножая последнюю |
величину |
||||||||
на |
Сп |
, приходну |
к (1.23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Биномиальное распределение имеет параметры (эти резуль |
||||||||||||||
таты нетрудно |
получить, |
|
используя |
свойство |
бинома |
Ньютона): |
|||||||||
|
|
N « LNC-P-d-p) |
|
|
* по ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
Ш)-Г(н-ЮаС(>ы(1-р)л'н- |
tp(i-p) |
* £ . |
|||||||||||||
|
|
N•0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Биномиальный закон в равной степени описывает |
распреда- |
|||||||||||||
ление событий как в серии последовательных |
испытаний, так и |
||||||||||||||
при одновременном наблюдении над совокупностью |
П |
|
объектов. |
||||||||||||
В последнем случае обычно исоледуется распределение |
событий, |
||||||||||||||
наблюдаемых в тачение заданных промежутков времени. |
|
||||||||||||||
|
Если средняя интенсивность событий при испытании с од |
||||||||||||||
ним объектом |
равна |
А |
, |
а время |
наблюдения |
|
t |
, |
но p = Xt, |
||||||
* |
вероятность |
встретить |
в течение |
этого времени |
исследуемое |
||||||||||
ообыткэ |
N |
раз |
( |
п. |
объектов) |
равна: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
РША- |
|
|
|
п/ |
atfa-wr". |
|
|
|
|
(1.25) |
|||
ft' N!(n-N)f